Математика. Часть 3. Карелина И.Г. - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Аналогично вводится понятие декартовых координат точки и радиус-вектора
точки в пространстве.
Рассматриваются в пространстве три взаимно перпендикулярных прямых 0x,
0y, 0z, точку их пересечения, как и раньше, обозначим через 0. На каждой из
прямых указывается направление и единица длины. Ось 0x также называют
осью абсцисс, ось 0y – осью ординат, ось 0z – осью аппликат.
Пространство с введенной таким образом системой координат можно рас-
сматривать как декартово произведение пространства R
2
×
R
, которое называ-
ют пространством R
3
.
x
y
0
1
1
x
0
e
1
e
2
y
0
M
r
M
e
3
z
1
z
0
M
z
M
y
M
x
Для нахождения координат точки M в
пространстве R
3
через точку M проводят
плоскости, параллельные осям 0x, 0y, 0z.
В результате пересечения осей и плоско-
стей получаем на соответствующих осях
точки M
x
, M
y
, M
z
, координаты которых
на осях соответственно равны x
0
, y
0
, z
0
.
Таким образом, каждой точке M
пространства R
3
ставится в соответ-
ствие единственный упорядоченный на-
бор чисел (x
0
; y
0
; z
0
). Верно и наобо-
рот. Каждой упорядоченной тройке чи-
сел (x
0
; y
0
; z
0
) соответствует единствен-
ная точка в пространстве R
3
.
Вектор, начало которого совпадает с началом координат, а конец – с точкой
M, называют радиус-вектором точки M. Геометрически радиус-вектор точки
M есть диагональ параллелепипеда, построенного на векторах
−−→
0M
x
,
−−→
0M
y
,
−−→
0M
z
.
Поэтому, если обозначить через~e
1
– радиус-вектор точки E
1
(1; 0; 0), через~e
2
–
радиус-вектор точки E
2
(0; 1; 0), через ~e
3
– радиус-вектор точки E
3
(0; 0; 1), то
разложение вектора
−→
0M по осям координат будет иметь вид
−−→
OM =
−−−→
OM
x
+
−−−→
OM
y
+
−−→
OM
z
= x
0
~e
1
+ y
0
~e
2
+ z
0
~e
3
.
12.3. Скалярное произведение векторов и его свойства
Результатом выполнения операций сложения векторов и умножения вектора
на число является вектор. Рассмотрим операцию, которая каждой паре векторов
ставит в соответствие скаляр, то есть число.
Скалярным произведением двух векторов
x
и
y
называется число, равное
произведению длин этих векторов на косинус угла между ними
(
x
,
y
) = |
x
||
y
|cos ∠(
x
,
y
).
Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами.
49
   Аналогично вводится понятие декартовых координат точки и радиус-вектора
точки в пространстве.
   Рассматриваются в пространстве три взаимно перпендикулярных прямых 0x,
0y, 0z, точку их пересечения, как и раньше, обозначим через 0. На каждой из
прямых указывается направление и единица длины. Ось 0x также называют
осью абсцисс, ось 0y – осью ординат, ось 0z – осью аппликат.
   Пространство с введенной таким образом системой координат можно рас-
сматривать как декартово произведение пространства R2 × R, которое называ-
ют пространством R3 .
                                         Для нахождения координат точки M в
                                     пространстве R3 через точку M проводят
               z Mz
                                     плоскости, параллельные осям 0x, 0y, 0z.
                   z0                В результате пересечения осей и плоско-
                                     стей получаем на соответствующих осях
                                     точки Mx , My , Mz , координаты которых
                          M
                1 rM                 на осях соответственно равны x0 , y0 , z0 .
               e3           My             Таким образом, каждой точке M
                                                          3
            e1
                  0 e2 1       y0 y пространства R ставится в соответ-
             1                       ствие единственный упорядоченный на-
    Mx                               бор чисел (x0 ; y0 ; z0 ). Верно и наобо-
  x x0                               рот. Каждой упорядоченной тройке чи-
                                     сел (x0 ; y0 ; z0 ) соответствует единствен-
                                     ная точка в пространстве R3 .
   Вектор, начало которого совпадает с началом координат, а конец – с точкой
M, называют радиус-вектором точки M. Геометрически радиус-вектор точки
                                                                    −−→ −−→ −−→
M есть диагональ параллелепипеда, построенного на векторах 0Mx , 0My , 0Mz .
Поэтому, если обозначить через �e1 – радиус-вектор точки E1 (1; 0; 0), через �e2 –
радиус-вектор точки E2 (0; 1; 0), через �e3 – радиус-вектор точки E3 (0; 0; 1), то
                         −→
разложение вектора 0M по осям координат будет иметь вид
               −−→ −−−→ −−−→ −−→
               OM = OMx + OMy + OMz = x0�e1 + y0�e2 + z0�e3 .

  12.3. Скалярное произведение векторов и его свойства

   Результатом выполнения операций сложения векторов и умножения вектора
на число является вектор. Рассмотрим операцию, которая каждой паре векторов
ставит в соответствие скаляр, то есть число.
   Скалярным произведением двух векторов x и y называется число, равное
произведению длин этих векторов на косинус угла между ними
                          (x, y) = | x || y | cos ∠(x, y).
  Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами.

                                        49

Страницы