Математика. Часть 3. Карелина И.Г. - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Вектор, конец которого совпадает с его началом, называют нулевым векто-
ром и обозначают
~
Θ. Его длина равна нулю, а направление не определено: ему
можно приписать любое направление.
Разностью двух векторов ~a и
~
b называют вектор~c такой, что
~
b +~c = ~a.
Произведением числа k на вектор~a называют вектор~c, длина которого равна
|k||~a|, а направление совпадает с направлением вектора ~a, если k > 0, и проти-
воположно вектору ~a, если k < 0.
Вектор (−~a) называют противоположным вектору ~a, если ~a + (−~a) =
~
Θ, то
есть противоположно направлены и имеют равные длины.
Введенные операции над векторами обладают следующими свойствами:
1. ~a +
~
b =
~
b + ~a
2. (~a +
~
b) +~c = ~a + (
~
b +~c)
3. k(m~a) = (km)~a, k, m = const
4. (k + m)~a = k~a + m~a
5. k(~a +
~
b) = k~a + k
~
b, k, m = con st
6. ~a + (−~a) =
~
Θ
7. ~a +
~
Θ = ~a
8. 0 ·~a =
~
Θ
9. 1 ·~a = ~a
10. k ·
~
Θ =
~
Θ, k = const
11. −1 ·~a = −~a
Пусть даны векторы ~a, ~a
1
, ~a
2
, ~a
3
, . . . ~a
n
и числа α
1
, α
2
, α
3
, . . . α
n
, тогда вектор
~a, записанный в виде
~a = α
1
~a
1
+ α
2
~a
2
+ α
3
~a
3
+ ··· + α
n
~a
n
,
называют линейной комбинацией векторов ~a
1
, ~a
2
, ~a
3
, . . . ~a
n
.
12.2. Декартовы координаты на плоскости и в пространстве
Проведем на плоскости две взаимно перепендикулярные прямые 0x, 0y, точку
их пересечения обозначим через 0 и будем считать ее началом отсчета на каждой
из прямых 0x, 0y. Кроме того, на каждой из прямых выберем направление и еди-
ницу длины. Прямую 0x называют осью абсцисс, прямую 0y – осью ординат.
Плоскость с введенной таким образом системой координат можно рассмат-
ривать как декартово произведение
R
×
R
, которое обозначают через R
2
.
47
    Вектор, конец которого совпадает с его началом, называют нулевым векто-
ром и обозначают Θ.  � Его длина равна нулю, а направление не определено: ему
можно приписать любое направление.
    Разностью двух векторов �a и �b называют вектор �c такой, что �b + �c = �a.
    Произведением числа k на вектор �a называют вектор�c, длина которого равна
|k||�a|, а направление совпадает с направлением вектора �a, если k > 0, и проти-
воположно вектору �a, если k < 0.
    Вектор (−�a) называют противоположным вектору �a, если �a + (−�a) = Θ,      � то
есть противоположно направлены и имеют равные длины.
    Введенные операции над векторами обладают следующими свойствами:

                           1. �a + �b = �b + �a
                           2. (�a + �b) + �c = �a + (�b + �c)
                           3. k(m�a) = (km)�a,         k, m = const
                           4. (k + m)�a = k�a + m�a
                           5. k(�a + �b) = k�a + k�b,      k, m = const
                                           �
                           6. �a + (−�a) = Θ
                                   � = �a
                           7. �a + Θ
                                       �
                           8. 0 · �a = Θ
                           9. 1 · �a = �a
                                  � = Θ,
                          10. k · Θ   �        k = const
                          11. −1 · �a = −�a

    Пусть даны векторы �a, �a1 , �a2 , �a3 , . . . �an и числа α1 , α2 , α3 , . . . αn , тогда вектор
�a, записанный в виде
                           �a = α1�a1 + α2�a2 + α3�a3 + · · · + αn�an ,
называют линейной комбинацией векторов �a1 , �a2 , �a3 , . . . �an .

   12.2. Декартовы координаты на плоскости и в пространстве

   Проведем на плоскости две взаимно перепендикулярные прямые 0x, 0y, точку
их пересечения обозначим через 0 и будем считать ее началом отсчета на каждой
из прямых 0x, 0y. Кроме того, на каждой из прямых выберем направление и еди-
ницу длины. Прямую 0x называют осью абсцисс, прямую 0y – осью ординат.
   Плоскость с введенной таким образом системой координат можно рассмат-
ривать как декартово произведение R × R, которое обозначают через R2 .

                                                  47

Страницы