Математика. Часть 3. Карелина И.Г. - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

x
y
0
1
1
x
0
e
1
e
2
y
0
M
r
M
Пусть на плоскости взята точка M. Через точку
M проведем прямую, параллельную оси 0y. Точ-
ке M
x
пересечения прямой с осью 0x соответ-
ствует единственное действительное число x
0
(см.
Лекцию 1). Через точку M проведем прямую, па-
раллельную оси 0x. Точке M
y
пересечения пря-
мой с осью 0y соответствует единственное дей-
ствительное число y
0
. Таким образом, точке M со-
ответствует единственная упорядоченная пара чи-
сел (x
0
; y
0
).
И наоборот, упорядоченной паре чисел (x
0
; y
0
) соответствует на плоскости
одна точка M, которая получается в результате пересечения двух прямых – пря-
мой, параллельной оси 0y и проходящей через точку M
x
с координатой x
0
на оси
0x, и прямой, параллельной оси 0x и проходящей через точку M
y
с координатой
y
0
на оси 0y.
Упорядоченную пару чисел, однозначно определяющую точку на плоскости,
называют декартовыми координатами точки.
Каждой точке M на плоскости можно поставить в соответствие вектор ~r
M
,
начало которого совпадает с началом координат, а конец – с данной точкой M .
Этот вектор~r
M
называют радиус-вектором точки M, он имеет те же коорди-
наты, что и точка M.
Поскольку равные векторы имеют равные длины и сонаправлены, все такие
векторы можно считать отложенными от начала координат и имеющими одина-
ковые координаты. Вектор, отложенный от начала координат, называют свобод-
ным вектором. Причем сам вектор отождествляют с набором его координат и
пишут
−−→
OM = (x
0
; y
0
).
Точку с координатами (1; 0) обозначим через E
1
, а соответствующий ей
радиус-вектор – через ~e
1
=
−−→
OE
1
; точку с координатами (0; 1) обозначим через
E
2
, а соответствующий ей радиус-вектор – через ~e
2
=
−−→
OE
2
.
Длины векторов ~e
1
и ~e
2
равны единице, и, кроме того, они лежат на взаимно
перпендикулярных прямых.
Вектор
−−−→
OM
x
= x
0
~e
1
, причем векторы
−−−→
OM
x
и ~e
1
сонаправлены, если x
0
> 0,
и противоположно направлены, если x
0
< 0. Аналогично
−−−→
OM
y
= y
0
~e
2
, причем
векторы
−−−→
OM
y
и ~e
2
сонаправлены, если y
0
> 0, и противоположно направлены,
если y
0
< 0.
По правилу параллелограмма вектор
−−→
OM можно представить в виде линей-
ной комбинации векторов~e
1
и~e
2
, то есть
−−→
OM =
−−−→
OM
x
+
−−−→
OM
y
= x
0
~e
1
+ y
0
~e
2
.
Последнее равенство называют разложением вектора.
48
                                Пусть на плоскости взята точка M . Через точку
       y                     M проведем прямую, параллельную оси 0y. Точ-
       y0         M          ке Mx пересечения прямой с осью 0x соответ-
                             ствует единственное действительное число x0 (см.
                             Лекцию 1). Через точку M проведем прямую, па-
       1       rM            раллельную оси 0x. Точке My пересечения пря-
       e2                    мой с осью 0y соответствует единственное дей-
       0 e1 1 x0       x ствительное число y0. Таким образом, точке M со-
                             ответствует единственная упорядоченная пара чи-
                             сел (x0 ; y0 ).
   И наоборот, упорядоченной паре чисел (x0 ; y0 ) соответствует на плоскости
одна точка M, которая получается в результате пересечения двух прямых – пря-
мой, параллельной оси 0y и проходящей через точку Mx с координатой x0 на оси
0x, и прямой, параллельной оси 0x и проходящей через точку My с координатой
y0 на оси 0y.
   Упорядоченную пару чисел, однозначно определяющую точку на плоскости,
называют декартовыми координатами точки.
   Каждой точке M на плоскости можно поставить в соответствие вектор �rM ,
начало которого совпадает с началом координат, а конец – с данной точкой M .
Этот вектор �rM называют радиус-вектором точки M , он имеет те же коорди-
наты, что и точка M .
   Поскольку равные векторы имеют равные длины и сонаправлены, все такие
векторы можно считать отложенными от начала координат и имеющими одина-
ковые координаты. Вектор, отложенный от начала координат, называют свобод-
ным вектором. Причем сам вектор отождествляют с набором его координат и
         −−→
пишут OM = (x0 ; y0 ).
   Точку с координатами (1; 0) обозначим через E1 , а соответствующий ей
                              −−→
радиус-вектор – через �e1 = OE1 ; точку с координатами (0; 1) обозначим через
                                                      −−→
E2 , а соответствующий ей радиус-вектор – через �e2 = OE2 .
   Длины векторов �e1 и �e2 равны единице, и, кроме того, они лежат на взаимно
перпендикулярных прямых.
             −−−→                             −−−→
   Вектор OMx = x0�e1 , причем векторы OMx и �e1 сонаправлены, если x0 > 0,
                                                           −−−→
и противоположно направлены, если x0 < 0. Аналогично OMy = y0�e2 , причем
           −−−→
векторы OMy и �e2 сонаправлены, если y0 > 0, и противоположно направлены,
если y0 < 0.
                                             −−→
   По правилу параллелограмма вектор OM можно представить в виде линей-
ной комбинации векторов �e1 и �e2 , то есть
                       −−→ −−−→ −−−→
                       OM = OMx + OMy = x0�e1 + y0�e2 .

  Последнее равенство называют разложением вектора.

                                      48

Страницы