Математика. Часть 3. Карелина И.Г. - 50 стр.

1. Скалярное произведение не зависит от порядка сомножителей
                                  (x, y) = (y, x).

  По определению скалярного произведения
          (x, y) = | x || y | cos ∠(x, y) = | y || x | cos ∠(y, x) = (y, x).

2. Числовой множитель можно выносить за знак скалярного произве-
   дения
                         (α x, y) = α(x, y).
  По определению скалярного произведения
          (α x, y) = |α x || y | cos ∠(α x, y) = |α|| x || y | cos ∠(α x, y).
  Если α > 0, то векторы x и α x сонаправлены, поэтому
                     cos ∠(α x, y) = cos ∠(x, y),       |α| = α,
  тогда
           |α|| x || y | cos ∠(α x, y) = α| x || y | cos ∠(x, y) = α(x, y).
  Если α < 0, то векторы x и α x противоположно направлены, поэтому
                         �              �
      cos ∠(α x, y) = cos 180◦ − ∠(x, y) = − cos ∠(x, y), |α| = −α,
  тогда
          |α|| x || y | cos ∠(α x, y) = −α| x || y |(− cos ∠(x, y)) =
                                      = α| x || y | cos ∠(x, y) = α(x, y).

3. Скалярное произведение векторов обращается в нуль тогда и толь-
   ко тогда, когда векторы перпендикулярны.
  Пусть один из векторов – нулевой, например, x = Θ, то | x | = 0. Так как
  нулевой вектор можно считать перпендикулярным любому вектору, поэтому
  векторы x и y перпендикулярны. Вычислим их скалярное произведение
                         (x, y) = 0 · | y | cos ∠(x, y) = 0.

  Пусть ненулевые векторы x и y перпендикулярны, тогда cos ∠(x, y) = 0,
  поэтому
                     (x, y) = | x || y | cos ∠(x, y) = 0.
  Наоборот, пусть скалярное произведение векторов x и y равно 0. Тогда либо
  | x | = 0, либо | y | = 0, либо cos ∠(x, y) = 0, что во всех случаях означает
  перпендикулярность векторов x и y .

                                       50