Математика. Часть 3. Карелина И.Г. - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

В левых частях равенств в силу ортогональности системы векторов (
x
l
,
x
m
) = 0,
если l 6= m, и (
x
m
,
x
m
) = |
x
m
|
2
6= 0 по условию, поэтому
α
1
= 0, α
2
= 0, . . . , α
k−1
= 0, α
k
= 0,
что противоречит линейной зависимости векторов
x
1
,
x
2
, . . . ,
x
k
, образующих
ортогональную систему.
J
В пространстве R
n
базис образуют векторы, построенные аналогично ортам
в пространствах R
2
, R
3
e
1
= (1; 0; 0; . . . ; 0),
e
2
= (0; 1; 0; . . . ; 0),
e
3
= (0; 0; 1; . . . ; 0),
. . .
e
n
= (0; 0; 0; . . . ; 1).
Эти векторы образуют ортогональную систему, то есть их попарные скалярные
произведения равны нулю
(
e
k
,
e
m
) = 0, если k 6= m,
и, кроме того, каждый вектор, по определению, имеет длину, равную 1, то есть
(
e
m
,
e
m
) = 1 ∀(m = 1, 2, . . . , n).
Рассмотрим скалярное произведение векторов
x
и
y
, заданных своими коор-
динатами
(
x
,
y
) = (x
1
e
1
+x
2
e
2
+ ··· + x
n
e
n
, y
1
e
1
+y
2
e
2
+ ··· + y
n
e
n
).
Пользуясь свойствами скалярного произведения, можно записать
(
x
,
y
) = (x
1
e
1
, y
1
e
1
) + (x
1
e
1
, y
2
e
2
) + (x
1
e
1
, y
3
e
3
) + ···+
+(x
k
e
k
, y
m
e
m
) + ··· + (x
n
e
n
, y
n
e
n
) =
= x
1
y
1
(
e
1
,
e
1
) + x
1
y
2
(
e
1
,
e
2
) + x
2
y
1
(
e
2
,
e
1
) + ···+
+x
k
y
m
(
e
k
,
e
m
) + ··· + x
n
y
n
(
e
n
,
e
n
) =
= x
1
y
1
+ x
2
y
2
+ ···+ x
n
y
n
.
Таким образом, если векторы заданы своими координатами, то их скалярное
произведение равно сумме произведений одноименных координат.
Вычислим длину вектора, заданного своими координатами,
|
x
|
2
= (
x
,
x
) = x
1
x
1
+ x
2
x
2
+ ···+ x
n
x
n
= x
2
1
+ x
2
2
+ ···+ x
2
n
.
52
В левых частях равенств в силу ортогональности системы векторов (xl , xm ) = 0,
если l �= m, и (xm , xm ) = | xm |2 �= 0 по условию, поэтому
                       α1 = 0, α2 = 0, . . . , αk−1 = 0, αk = 0,
что противоречит линейной зависимости векторов x1 , x2 , . . . , xk , образующих
ортогональную систему.
   �
   В пространстве Rn базис образуют векторы, построенные аналогично ортам
в пространствах R2 , R3
                           e1 = (1; 0; 0; . . . ; 0),
                                   e2 = (0; 1; 0; . . . ; 0),
                                   e3 = (0; 0; 1; . . . ; 0),
                                   ...
                                   en = (0; 0; 0; . . . ; 1).

Эти векторы образуют ортогональную систему, то есть их попарные скалярные
произведения равны нулю
                               (ek , em ) = 0, если k �= m,
и, кроме того, каждый вектор, по определению, имеет длину, равную 1, то есть
(em , em ) = 1 ∀(m = 1, 2, . . . , n).
   Рассмотрим скалярное произведение векторов x и y, заданных своими коор-
динатами
         (x, y) = (x1 e1 +x2 e2 + · · · + xn en , y1 e1 +y2 e2 + · · · + yn en ).

Пользуясь свойствами скалярного произведения, можно записать
          (x, y) = (x1 e1 , y1 e1 ) + (x1 e1 , y2 e2 ) + (x1 e1 , y3 e3 ) + · · · +
                   +(xk ek , ym em ) + · · · + (xn en , yn en ) =
                   = x1 y1 (e1 , e1 ) + x1 y2 (e1 , e2 ) + x2 y1 (e2 , e1 ) + · · · +
                   +xk ym (ek , em ) + · · · + xn yn (en , en ) =
                   = x 1 y1 + x 2 y2 + · · · + x n yn .

  Таким образом, если векторы заданы своими координатами, то их скалярное
произведение равно сумме произведений одноименных координат.
  Вычислим длину вектора, заданного своими координатами,
        | x |2 = (x, x) = x1 x1 + x2 x2 + · · · + xn xn = x21 + x22 + · · · + x2n .

                                               52

Страницы