Математика. Часть 3. Карелина И.Г. - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Примером линейного пространства являются рассмотренные выше про-
странства R
2
и R
3
с введенными в них операциями сложения векторов и умно-
жения векторов на число.
Рассмотрим множество всевозможных упорядоченных наборов из n чисел
x
= (x
1
; x
2
; . . . ; x
n
).
Суммой векторов
x
и
y
называют вектор с координатами
x
+
y
= (x
1
+
y
1
; x
2
+ y
2
; . . . ; x
n
+ y
n
).
Произведением вектора
x
на число k называют вектор с координатами k
x
=
(kx
1
; kx
2
; . . . ; kx
n
).
Под нулевым элементом будем понимать вектор, все координаты которого
– нули Θ = (0; 0; . . . ; 0).
Вектор (−
x
) с координатами (−x
1
; −x
2
; . . . ; −x
n
) назовем противополож-
ным вектору
x
= (x
1
; x
2
; . . . ; x
n
).
Легко проверить, что множество всевозможных упорядоченных наборов из
n чисел удовлетворяет свойствам 1-6 линейного пространства, его обозначают
через R
n
.
Пусть даны векторы
x
1
,
x
2
, . . . ,
x
k
и числа α
1
, α
2
, . . . , α
k
, выражение
α
1
x
1
+α
2
x
2
+ ··· + α
k
x
k
называют линейной комбинацией векторов
x
1
,
x
2
, . . . ,
x
k
.
Векторы
x
1
,
x
2
, . . . ,
x
k
называют линейно зависимыми, если существуют
числа α
1
, α
2
, . . . , α
k
, не все равные нулю, что выполняется равенство
α
1
x
1
+α
2
x
2
+ ··· + α
k
x
k
= Θ.
Если последнее равенство выполняется только тогда, когда все числа α
1
= α
2
=
··· = α
k
= 0, то векторы
x
1
,
x
2
, . . . ,
x
k
называют линейно независимыми.
Теорема. Для того чтобы векторы
x
1
,
x
2
, . . . ,
x
k
были линейно зависимыми,
необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из них был линейной комбинацией
других.
Доказательство.
1. Пусть векторы
x
1
,
x
2
, . . . ,
x
k
линейно зависимы, тогда существуют числа
α
1
, α
2
, . . . , α
k
, не все равные нулю, такие что
α
1
x
1
+α
2
x
2
+ ··· + α
k
x
k
= Θ.
Пусть, например, α
1
6= 0, тогда имеет место равенство
x
1
=
α
2
α
1
x
2
+ ··· +
α
k
α
1
x
k
,
то есть вектор
x
1
есть линейная комбинация остальных векторов.
54
    Примером линейного пространства являются рассмотренные выше про-
странства R2 и R3 с введенными в них операциями сложения векторов и умно-
жения векторов на число.
    Рассмотрим множество всевозможных упорядоченных наборов из n чисел
x = (x1 ; x2 ; . . . ; xn ).
    Суммой векторов x и y называют вектор с координатами x + y = (x1 +
y1 ; x2 + y2 ; . . . ; xn + yn ).
    Произведением вектора x на число k называют вектор с координатами k x =
(kx1 ; kx2 ; . . . ; kxn ).
    Под нулевым элементом будем понимать вектор, все координаты которого
– нули Θ = (0; 0; . . . ; 0).
    Вектор (− x) с координатами (−x1 ; −x2 ; . . . ; −xn ) назовем противополож-
ным вектору x = (x1 ; x2 ; . . . ; xn ).
    Легко проверить, что множество всевозможных упорядоченных наборов из
n чисел удовлетворяет свойствам 1-6 линейного пространства, его обозначают
через Rn .
    Пусть даны векторы x1 , x2 , . . . , xk и числа α1 , α2 , . . . , αk , выражение

                            α1 x1 +α2 x2 + · · · + αk xk

называют линейной комбинацией векторов x1 , x2 , . . . , xk .
   Векторы x1 , x2 , . . . , xk называют линейно зависимыми, если существуют
числа α1 , α2 , . . . , αk , не все равные нулю, что выполняется равенство

                         α1 x1 +α2 x2 + · · · + αk xk = Θ.

Если последнее равенство выполняется только тогда, когда все числа α1 = α2 =
· · · = αk = 0, то векторы x1 , x2 , . . . , xk называют линейно независимыми.

   Теорема. Для того чтобы векторы x1 , x2 , . . . , xk были линейно зависимыми,
необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из них был линейной комбинацией
других.

    � Доказательство.
    1. Пусть векторы x1 , x2 , . . . , xk линейно зависимы, тогда существуют числа
α1 , α2 , . . . , αk , не все равные нулю, такие что

                         α1 x1 +α2 x2 + · · · + αk xk = Θ.

Пусть, например, α1 �= 0, тогда имеет место равенство
                                   α2             α
                            x1 =      x2 + · · · + k xk ,
                                   α1             α1
то есть вектор x1 есть линейная комбинация остальных векторов.

                                         54

Страницы