Математика. Часть 3. Карелина И.Г. - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

В дальнейшем изложении ограничимся рассмотрением функции двух пере-
менных
f : R
2
−→ R,
или z = f(x; y), где (x; y) ∈ R
2
, z ∈
R
.
Графиком функции двух переменных z = f(x; y) называют поверхность в
пространстве R
3
.
Часто оказывается удобным изучать изменение функции, рассматривая срез
графика функции плоскостями, параллельными плоскости 0xy.
Линиями уровня функции двух переменных z = f(x; y) называют множе-
ство точек плоскости 0xy, для которых функция принимает одно и то же посто-
янное значение
f(x; y) = C, C = const.
Пример
Построить линии уровня функции z = x
2
+ y
2
.
x
y
0
1
C=
1
C=
2
C=
3
x
y
+
=
C
22
3
2
Линии уровня в данном случае будут иметь
вид x
2
+ y
2
= C, C = const. Заметим,
что C может принимать только неотрицатель-
ные значения. В плоскости 0xy линии уровня
представляют собой концентрические окруж-
ности с центром в начале координат и радиу-
сом
√
C, которые при C = 0 вырождаются в
точку (0; 0).
Используя линии уровня функции, мож-
но построить ее график. График функции z =
x
2
+ y
2
называется параболоид.
Линиями уровня обозначают на географи-
ческих картах глубину морей и высоту гор,
распределение среднесуточной температуры
и т.д.
x
y
0
z
z
2
xy
2
=
+
59
  В дальнейшем изложении ограничимся рассмотрением функции двух пере-
менных
                            f : R2 −→ R,
или z = f (x; y), где (x; y) ∈ R2 , z ∈ R .

  Графиком функции двух переменных z = f (x; y) называют поверхность в
пространстве R3 .
   Часто оказывается удобным изучать изменение функции, рассматривая срез
графика функции плоскостями, параллельными плоскости 0xy.

   Линиями уровня функции двух переменных z = f (x; y) называют множе-
ство точек плоскости 0xy, для которых функция принимает одно и то же посто-
янное значение
                          f (x; y) = C, C = const.



   Пример

Построить линии уровня функции z = x2 + y 2 .

             y       x 2+ y 2 = C          Линии уровня в данном случае будут иметь
                                C =3
                                        вид x2 + y 2 = C, C = const. Заметим,
                                C =2    что C может принимать только неотрицатель-
                                C =1    ные значения. В плоскости 0xy линии уровня
                 0   1     2    3   x   представляют собой концентрические окруж-
                                        ности
                                            √с центром в начале координат и радиу-
                                        сом C, которые при C = 0 вырождаются в
                                        точку (0; 0).
                                                             z
   Используя линии уровня функции, мож-                              z = x 2+ y 2
но построить ее график. График функции z =
x2 + y 2 называется параболоид.

   Линиями уровня обозначают на географи-
ческих картах глубину морей и высоту гор,                        0             y
распределение среднесуточной температуры               x
и т.д.




                                              59

Страницы