ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
так как функция y
3
от переменной x не зависит, то ее производная по переменной
x равна 0.
Фиксируя переменную x, находим частную производную функции по пере-
менной y
∂z
∂y
= 3y
2
− 2x,
так как функция x
2
от переменной y не зависит, то ее производная по переменной
y равна 0.
13.4. Полный дифференциал
Пусть z = f(x; y) есть функция двух независимых переменных, имеющая
непрерывные частные производные по переменным x и y. И полное прираще-
ние
∆z = f(x + ∆x; y + ∆y) − f(x; y)
представляет собой разность между значениями данной функции в точке
M(x; y) и M
1
(x + ∆x; y + ∆y). Если можно записать полное приращение функ-
ции z = f(x; y) в виде
∆z = A∆x + B∆y + α(∆x) + β(∆y),
где A и B не зависят от ∆x, ∆y, а α(∆x), β(∆y) – бесконечно малые функции
при ∆x → 0, ∆y → 0, то главную линейную часть полного приращения функции
называют полным дифференциалом функции z = f(x; y)
dz = A∆x + B∆y.
Теорема. Если функция z = f(x; y) имеет непрерывные частные производ-
ные первого порядка, то ее полный дифференциал можно записать в виде
dz =
∂f
∂x
dx +
∂f
∂y
dy.
Доказательство.
По определению полный дифференциал функции z = f(x; y) имеет вид
dz = A∆x + B∆y.
Для нахождения коэффициентов A и B выпишем полное приращение функции
∆z = A∆x + B∆y + α(∆x) + β(∆y),
α(∆x), β(∆y) – бесконечно малые функции при ∆x → 0, ∆y → 0.
62
так как функция y 3 от переменной x не зависит, то ее производная по переменной
x равна 0.
Фиксируя переменную x, находим частную производную функции по пере-
менной y
∂z
= 3y 2 − 2x,
∂y
так как функция x2 от переменной y не зависит, то ее производная по переменной
y равна 0.
13.4. Полный дифференциал
Пусть z = f (x; y) есть функция двух независимых переменных, имеющая
непрерывные частные производные по переменным x и y. И полное прираще-
ние
Δz = f (x + Δx; y + Δy) − f (x; y)
представляет собой разность между значениями данной функции в точке
M (x; y) и M1 (x + Δx; y + Δy). Если можно записать полное приращение функ-
ции z = f (x; y) в виде
Δz = AΔx + BΔy + α(Δx) + β(Δy),
где A и B не зависят от Δx, Δy, а α(Δx), β(Δy) – бесконечно малые функции
при Δx → 0, Δy → 0, то главную линейную часть полного приращения функции
называют полным дифференциалом функции z = f (x; y)
dz = AΔx + BΔy.
Теорема. Если функция z = f (x; y) имеет непрерывные частные производ-
ные первого порядка, то ее полный дифференциал можно записать в виде
∂f ∂f
dz = dx + dy.
∂x ∂y
� Доказательство.
По определению полный дифференциал функции z = f (x; y) имеет вид
dz = AΔx + BΔy.
Для нахождения коэффициентов A и B выпишем полное приращение функции
Δz = AΔx + BΔy + α(Δx) + β(Δy),
α(Δx), β(Δy) – бесконечно малые функции при Δx → 0, Δy → 0.
62
