Математика. Часть 4. Карелина И.Г. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

1. Ортогональное преобразование векторов.
Пусть квадратная матрица A невырожденная, а обратная матрица совпадает
с транспонированной, то есть A
−1
= A
T
, то преобразование, задаваемое матри-
цей A, называют ортогональным преобразованием.
Утверждение 2. Ортогональное преобразование не меняет длину вектора.
Ортогональные преобразования не меняют длину вектора, меняя лишь его
направление.
Доказательство.
Вначале покажем, что из равенства A
−1
= A
T
следует, что (AX)
T
= X
T
A
T
.
(AX)
T
=
=
a
11
. . . a
1n
a
21
. . . a
2n
. . .
a
n1
. . . a
nn
x
1
x
2
. . .
x
n
T
=
a
11
x
1
+ . . . +a
1n
x
n
a
21
x
1
+ . . . +a
2n
x
n
. . .
a
n1
x
1
+ . . . +a
nn
x
n
T
=
= (a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ · · · + a
1n
x
n
, . . . , a
n1
x
1
+ a
n2
x
2
+ · · · + a
nn
x
n
) =
= (x
1
x
2
. . . x
n
)
a
11
a
21
. . . a
n1
a
12
a
22
. . . a
n2
. . .
a
1n
a
2n
. . . a
nn
= X
T
A
T
Используя полученное равенство (AX)
T
= X
T
A
T
и свойство матрицы A
−1
=
A
T
, задающей ортогональное преобразование векторов, покажем, что ортого-
нальное преобразование вектора не меняет его длину.
|Y
2
| = (Y ; Y ) = Y
T
Y = (AX)
T
AX = X
T
A
T
AX =
= X
T
A
−1
AX = X
T
IX = X
T
X = (X; X) = |X|
2
,
что и означает требуемое.
J
30
   1. Ортогональное преобразование векторов.
   Пусть квадратная матрица A невырожденная, а обратная матрица совпадает
с транспонированной, то есть A−1 = AT , то преобразование, задаваемое матри-
цей A, называют ортогональным преобразованием.

  Утверждение 2. Ортогональное преобразование не меняет длину вектора.
  Ортогональные преобразования не меняют длину вектора, меняя лишь его
направление.
  � Доказательство.
  Вначале покажем, что из равенства A−1 = AT следует, что (AX)T = X T AT .


      (AX)T =
                                      T                                    T
              a11 . . . a1n          x1                 a11 x1 + . . . +a1n xn
                                                                           
        a21 . . . a2n          x 2       a21 x1 + . . . +a2n xn            
                                                                           
      =
       
                                       = 
                                 . . .    
                                                                                   =
                                                                                  
             ...                                  ...                      
                                                                           
           an1 . . . ann           xn           an1 x1 + . . . +ann xn


      = (a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn , . . . , an1 x1 + an2 x2 + · · · + ann xn ) =
                                                  
                             a11 a21 . . . an1
                                                  
                           a12 a22 . . . an2      
                                                  
      = (x1 x2 . . . xn ) 
                          
                                                    = X T AT
                                                   
                                   ...            
                                                  
                            a1n a2n . . . ann


   Используя полученное равенство (AX)T = X T AT и свойство матрицы A−1 =
AT , задающей ортогональное преобразование векторов, покажем, что ортого-
нальное преобразование вектора не меняет его длину.

          |Y 2 | = (Y ; Y ) = Y T Y = (AX)T AX = X T AT AX =
                 =    X T A−1 AX = X T IX = X T X = (X; X)                = |X|2 ,

что и означает требуемое.
   �




                                              30

Страницы