Математика. Часть 4. Карелина И.Г. - 29 стр.

так как A−1 A = I, IX = X, то из последнего равенства находим искомый вектор

                                    X = A−1 B.                                  (2)

   Утверждение 1. Если матрица системы линейных уравнений (1) невырож-
дена, то система имеет единственное решение X = A−1 B.
   � Доказательство.
   В предположении противного существуют два различных решения X � , X �� си-
стемы линейных уравнений (1). То есть выполняются тождества AX � = B и
AX �� = B. Вычитая из первого равенства второе, получим

                           A(X � − X �� ) = B − B = Θ.
  Умножим последнее равенство слева на матрицу A−1 , получим

                          A−1 A(X � − X �� ) = A−1 Θ = Θ,
то есть X � − X �� = Θ, откуда X � = X �� , что и означает единственность найденного
решения.
   �

   Замечание 1. Если подробно расшифровать формулу (2), то получим то же
правило Крамера, которое было сформулировано в лекции "Определитель". По-
следнее утверждение позволило установить единственность найденного реше-
ния.

   Замечание 2. Матричную запись линейной системы (1) можно использовать
и в случае, когда матрица A не является квадратной. Однако при этом нельзя
перейти к формуле (2), поскольку в этом случае матрица A не имеет обратной.

  15.5. Преобразование векторов

   Пусть X – вектор пространства Rn , A – матрица размерности m × n. То-
гда в результате умножения матрицы A на вектор X, получим вектор Y = AX,
который лежит в пространстве Rm .
   Таким образом, с помощью матрицы A осуществляется отображение про-
странства Rn в пространство Rm .
   Пусть матрица A является квадратной порядка n. Если матрица A невы-
рожденная, то есть существует обратная матрица A−1 , то матрица A определяет
взаимно-однозначное соответствие пространства Rn в пространство Rn .



                                        29