Математика. Часть 4. Карелина И.Г. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

15.4. Матричная форма системы линейных уравнений
Рассмотрим систему n линейных уравнений относительно n неизвестных x
1
,
x
2
, . . . , x
n
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ a
13
x
3
+ · · · + a
1n
x
n
= b
1
a
21
x
1
+ a
22
x
2
+ a
23
x
3
+ · · · + a
2n
x
n
= b
2
. . .
a
n1
x
1
+ a
n2
x
2
+ a
n3
x
3
+ · · · + a
nn
x
n
= b
n
(1)
Обозначим через A матрицу системы уравнений (1), через B – вектор-
столбец свобоных членов, через X – искомый вектор
A =
a
11
a
12
. . . a
13
a
1n
a
21
a
22
. . . a
23
a
2n
. . .
a
n1
a
n2
. . . a
n3
a
nn
, B =
b
1
b
2
. . .
b
n
, X =
x
1
x
2
. . .
x
n
Тогда система линейных уравнений (1) может быть записана в виде
AX = B.
Такая запись системы уравнений называется матричной формой системы
уравнений (1).
Если столбец свободных членов – нулевой вектор, то есть
B = Θ =
0
0
. . .
0
,
то система уравнений является однородной.
Если матрица A системы является невырожденной (то есть det A 6= 0), то су-
ществует обратная матрица A
−1
. Умножим матричное уравнение AX = B слева
на матрицу A
−1
, получим
A
−1
AX = A
−1
B,
28
  15.4. Матричная форма системы линейных уравнений

    Рассмотрим систему n линейных уравнений относительно n неизвестных x1 ,
x2 , . . . , x n
                 
                 
                   a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + · · · + a1n xn = b1
                 
                 
                 
                 
                  a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + · · · + a2n xn = b2
                                                                       (1)
                 
                   ...
                 
                 
                 
                 
                  an1 x1 + an2 x2 + an3 x3 + · · · + ann xn = bn

   Обозначим через A матрицу системы уравнений (1), через B – вектор-
столбец свобоных членов, через X – искомый вектор
                                                          
              a11 a12 . . . a13 a1n            b1          x1
                                                          
             a21 a22 . . . a23 a2n         b2         x2 
                                                          
       A=  
                                    , B = 
                                           
                                                  , X = 
                                                        
                                                               
                                                               
                     ...                   ...        ... 
                                                          
              an1 an2 . . . an3 ann            bn          xn

  Тогда система линейных уравнений (1) может быть записана в виде

                                  AX = B.
   Такая запись системы уравнений называется матричной формой системы
уравнений (1).
   Если столбец свободных членов – нулевой вектор, то есть
                                          
                                        0
                                          
                                     0 
                                          
                            B=Θ=          
                                      ... ,
                                          
                                          
                                        0

то система уравнений является однородной.
   Если матрица A системы является невырожденной (то есть det A �= 0), то су-
ществует обратная матрица A−1 . Умножим матричное уравнение AX = B слева
на матрицу A−1 , получим

                              A−1 AX = A−1 B,



                                     28

Страницы