Математика. Часть 4. Карелина И.Г. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Произведением матрицы A на число k называют матрицу C, элементы кото-
рой получены умножением элементов матрицы A на число k, то есть c
ij
= ka
ij
,
то есть
kA = k ·
a
11
a
12
. . . a
1n−1
a
1n
a
21
a
22
. . . a
2n−1
a
2n
. . .
a
m1
a
m2
. . . a
mn−1
a
mn
=
ka
11
ka
12
. . . ka
1n−1
ka
1n
ka
21
ka
22
. . . ka
2n−1
ka
2n
. . .
ka
m1
ka
m2
. . . ka
mn−1
ka
mn
Из определения умножения матрицы на число следует, что det (kA) =
k
n
det A, где n – порядок матрицы A.
Например,
2 ·
5 3 2 4 0
2 2 1 −2 −2
1 3 −3 0 0
−7 2 1 −1 5
=
10 6 4 8 0
4 4 2 −4 −4
1 6 −6 0 0
−14 4 2 −2 10
.
Из определения транспонированной матрицы, очевидно, следует, что
(A + B)
T
= A
T
+ B
T
, (kA)
T
= kA
T
.
Проверьте (!), что множество всех матриц одинакового порядка с введенными
операциями умножения матрицы на число и сложения матриц образует линейное
пространство, то есть на множестве всех матриц одинакового порядка выполня-
ются все аксиомы линейного пространства.
Введем операцию умножения двух матриц. Пусть даны матрица A, имеющая
порядок m × k и матрица B, имеющая порядок k × n, то есть число столбцов
матрицы A совпадает с числом строк матрицы B. Произведением матриц A и
B называют матрицу C порядка m × n, каждый элемент c
ij
которой представ-
ляет собой сумму произведений каждого элемента i-той строки матрицы A на
соответственные элементы j-того столбца матрицы B, то есть
c
ij
= a
i1
b
1j
+ a
i2
b
2j
+ · · · + a
ik
b
kj
=
k
X
l=1
a
il
b
lj
.
26
   Произведением матрицы A на число k называют матрицу C, элементы кото-
рой получены умножением элементов матрицы A на число k, то есть cij = kaij ,
то есть

                                                                                          
              a11 a12 . . . a1n−1 a1n                      ka11 ka12 . . . ka1n−1 ka1n
                                                                                          
          a21 a22 . . . a2n−1 a2n              ka21 ka22 . . . ka2n−1 ka2n                
                                                                                          
kA = k · 
         
                                              =
                                               
                                                                                             
                                                                                             
                  ...                                    ...                              
                                                                                          
           am1 am2 . . . amn−1 amn                kam1 kam2 . . . kamn−1 kamn

  Из определения умножения матрицы на число следует, что det (kA) =
k det A, где n – порядок матрицы A.
 n

     Например,
                                                                                      
                      5 3     2     4     0                 10 6    4        8       0
                                                   
                     2 2  1 −2 −2     4 4  2 −4 −4 
                                                   
              2·
                
                                   =                .
                     1 3 −3 0 0    
                                       1 6 −6  0  0 
                                                      
                                                   
                     −7 2 1 −1 5       −14 4 2 −2 10

     Из определения транспонированной матрицы, очевидно, следует, что

                        (A + B)T = AT + B T ,              (kA)T = kAT .
  Проверьте (!), что множество всех матриц одинакового порядка с введенными
операциями умножения матрицы на число и сложения матриц образует линейное
пространство, то есть на множестве всех матриц одинакового порядка выполня-
ются все аксиомы линейного пространства.
  Введем операцию умножения двух матриц. Пусть даны матрица A, имеющая
порядок m × k и матрица B, имеющая порядок k × n, то есть число столбцов
матрицы A совпадает с числом строк матрицы B. Произведением матриц A и
B называют матрицу C порядка m × n, каждый элемент cij которой представ-
ляет собой сумму произведений каждого элемента i-той строки матрицы A на
соответственные элементы j-того столбца матрицы B, то есть
                                                                   k
                                                                   �
                     cij = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + aik bkj =         ail blj .
                                                                   l=1




                                                  26

Страницы