Математика. Часть 4. Карелина И.Г. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Например,
1 3 0
2 1 1
0 −1 1
·
3 −1 5 1
−1 2 0 1
0 1 0 −2
=
0 5 5 4
5 1 10 1
1 −1 0 −3
.
Отметим сразу, что результат умножения матриц зависит от порядка матриц,
то есть в общем случае AB 6= BA. Покажем это на простом примере
1 0
0 0
·
0 0
1 0
=
0 0
0 0
,
0 0
1 0
·
1 0
0 0
=
0 0
1 0
.
Непосредственно можно проверить свойство
(AB)
T
= B
T
A
T
.
15.3. Обратная матрица
Рассмотрим невырожденную квадратную матрицу A, то есть det A 6= 0.
Каждой невырожденной матрице A можно поставить в соответствие матрицу
A
−1
такую, что выполняется равенство
AA
−1
= A
−1
A = I.
Матрицу A
−1
называют обратной матрице A.
Из последнего равенства следует, что
det A · det(A
−1
) = det I = 1, det(A
−1
) =
1
det A
.
Обозначим через A
ij
алгебраическое дополнение элемента a
ij
матрицы A. То-
гда обратную матрицу можно найти по правилу
A
−1
=
1
det A
·
A
11
A
12
. . . A
1n−1
A
1n
A
21
A
22
. . . A
2n−1
A
2n
. . .
A
n1
A
n2
. . . A
nn−1
A
nn
.
Проверьте (!), используя правило умножения матриц, последнее равенство.
27
  Например,
                                                                                 
          1 3 0      3 −1 5 1                                   0   5     5       4
                                                                                 
        2 1 1   −1 2 0 1                             5 1 10 1                    
                ·                                  =                             .
                                                                                 
          0 −1 1     0 1 0 −2                             1 −1 0 −3

   Отметим сразу, что результат умножения матриц зависит от порядка матриц,
то есть в общем случае AB �= BA. Покажем это на простом примере

                                                                                 
        1 0         0 0           0 0                 0 0           1 0               0 0
             ·         =           ,                 ·           =               .
        0 0         1 0           0 0                 1 0           0 0               1 0

  Непосредственно можно проверить свойство

                                   (AB)T = B T AT .

  15.3. Обратная матрица

  Рассмотрим невырожденную квадратную матрицу A, то есть det A �= 0.
  Каждой невырожденной матрице A можно поставить в соответствие матрицу
A такую, что выполняется равенство
 −1


                                  AA−1 = A−1 A = I.

Матрицу A−1 называют обратной матрице A.
  Из последнего равенства следует, что
                                                                          1
               det A · det(A−1 ) = det I = 1,             det(A−1 ) =         .
                                                                        det A
   Обозначим через Aij алгебраическое дополнение элемента aij матрицы A. То-
гда обратную матрицу можно найти по правилу
                                                       
                                A11 A12 . . . A1n−1 A1n
                                                       
                              A21 A22 . . . A2n−1 A2n 
                         1                             
               A−1 =        ·
                             
                                                        .
                                                        
                      det A             . . .          
                                                       
                                An1 An2 . . . Ann−1 Ann

  Проверьте (!), используя правило умножения матриц, последнее равенство.



                                             27

Страницы