Рыбопромысловая гидроакустика. Карлик Я.С - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КамчатГТУ | Петропавловск-Камчатский

Составители: 

Рубрика: 

2.2.1. Плоская волна
Источником излучения плоской волны является колеблющаяся плос-
кость, размеры которой значительно превосходят длину волны. Плоская
волна распространяется только в одном направлении. Если это направле-
ние совпадает, например, с осью х, то потенциал скорости Ф = f(х, t). По-
этому волновое уравнение плоской волны имеет вид:
2
2
2
2
2
Ф
x
Ф
c
∂
t
∂
∂
=
. (2.17)
∂
Интеграл этого дифференциального уравнения в общем виде найдем,
воспользуясь решением Даламбера [1, 2, 4]. Введем новые переменные:
η = x − ct; ψ = x + ct. (2.18)
Считая Ф зависящим от х и t и применяя дифференцирование слож-
ных функций, выразим производные по переменным х и t через производ-
ные от новых переменных ψ и η:
x
Ф
x
Ф
x
Ф
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
η
η
ψ
ψ
;
t
Ф
t
Ф
t
Ф
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
η
η
ψ
ψ
.
Подставив в эти выражения значения
1=
∂
∂
x
ψ
; 1=
∂
∂
x
η
; c
t
=
∂
∂
ψ
; c
t
−=
∂
∂
η
, (2.19)
полученные дифференцированием равенств (2.18), имеем:
ψη
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂ ФФ
x
Ф
;
ηψ
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
Ф
c
Ф
c
t
Ф
. (2.20)
Продифференцируем выражения (2.20) еще раз. Получаем:
+
∂
∂
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
x
ФФ
x
Ф
η
ψηη
2
2
x
ФФ
∂
∂
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
ψ
ψηψ
;
+
∂
∂
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
t
ФФ
c
t
Ф
ψ
ηψψ
2
2
t
ФФ
c
∂
∂
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
η
ηψη
.
Преобразуем полученные уравнения с учетом равенств (2.19):
27
                             2.2.1. Плоская волна

    Источником излучения плоской волны является колеблющаяся плос-
кость, размеры которой значительно превосходят длину волны. Плоская
волна распространяется только в одном направлении. Если это направле-
ние совпадает, например, с осью х, то потенциал скорости Ф = f(х, t). По-
этому волновое уравнение плоской волны имеет вид:

                              ∂ 2Ф       2
                                       2∂ Ф
                                   = c       .                     (2.17)
                              ∂t 2      ∂x 2

    Интеграл этого дифференциального уравнения в общем виде найдем,
воспользуясь решением Даламбера [1, 2, 4]. Введем новые переменные:

                     η = x − ct;         ψ = x + ct.               (2.18)

    Считая Ф зависящим от х и t и применяя дифференцирование слож-
ных функций, выразим производные по переменным х и t через производ-
ные от новых переменных ψ и η:

             ∂Ф ∂Ф ∂ψ ∂Ф ∂η                ∂Ф ∂Ф ∂ψ ∂Ф ∂η
               =     +      ;                =     +      .
             ∂x ∂ψ ∂x ∂η ∂x                ∂t ∂ψ ∂t ∂η ∂t

    Подставив в эти выражения значения

                   ∂ψ          ∂η          ∂ψ          ∂η
                      = 1;        = 1;         = c;       = −c ,   (2.19)
                   ∂x          ∂x           ∂t         ∂t

полученные дифференцированием равенств (2.18), имеем:
                     ∂Ф ∂Ф ∂Ф                 ∂Ф    ∂Ф    ∂Ф
                       =  +   ;                  =c    −c    .     (2.20)
                     ∂x ∂η ∂ψ                 ∂t    ∂ψ    ∂η
    Продифференцируем выражения (2.20) еще раз. Получаем:
               ∂ 2Ф ∂ ⎛ ∂Ф ∂Ф ⎞ ∂η        ∂ ⎛ ∂Ф ∂Ф ⎞ ∂ψ
                    =     ⎜   +   ⎟    +     ⎜    +   ⎟   ;
               ∂x 2
                       ∂η ⎝ ∂η ∂ψ ⎠ ∂x ∂ψ ⎝ ∂η ∂ψ ⎠ ∂x
             ∂ 2Ф       ∂ ⎛ ∂Ф ∂Ф ⎞ ∂ψ       ∂ ⎛ ∂Ф ∂Ф ⎞ ∂η
                   = c     ⎜   −   ⎟    + c    ⎜    −   ⎟   .
             ∂t 2      ∂ψ ⎝ ∂ψ ∂η ⎠ ∂t      ∂η ⎝ ∂ψ ∂η ⎠ ∂t

    Преобразуем полученные уравнения с учетом равенств (2.19):


                                      27

Страницы