Рыбопромысловая гидроакустика. Карлик Я.С - 28 стр.

      ∂ 2Ф ∂ 2Ф ∂ 2Ф   ∂ 2Ф ∂ 2Ф ∂ 2Ф     ∂ 2Ф ∂ 2Ф
          =    +     +     +    =     +2      +     ;                            (2.21)
      ∂x 2 ∂η 2 ∂η∂ψ ∂ψ∂η ∂ψ 2 ∂η 2      ∂ψ∂η ∂ψ 2

∂ 2Ф     ⎛ ∂ 2Ф      ∂ 2Ф       ∂ 2Ф      ∂ 2Ф ⎞ 2 ⎛ ∂ 2Ф        ∂ 2Ф ∂ 2Ф ⎞
     = c ⎜ с
         ⎜ ∂ψ 2 − с        − с        + с      ⎟
                                             2 ⎟
                                                 = с ⎜
                                                     ⎜ ∂ψ 2 − 2        +      ⎟ .(2.22)
                                                                            2 ⎟
∂t 2     ⎝          ∂ψ  ∂η     ∂η  ∂ψ     ∂η   ⎠     ⎝          ∂ψ  ∂η   ∂η   ⎠

     Подставим значения выражений (2.21) и (2.22) в волновое уравнение
(2.17):

                  ⎛ ∂ 2Ф       ∂ 2Ф ∂ 2Ф ⎞ 2 ⎛ ∂ 2Ф           ∂ 2Ф ∂ 2Ф ⎞
             с 2 ⎜⎜       − 2        +      ⎟
                                          2 ⎟
                                              = с ⎜
                                                  ⎜ ∂η 2 + 2        +     ⎟.
                                                                         2⎟
                  ⎝ ∂ψ  2
                              ∂ψ  ∂η   ∂η   ⎠     ⎝          ∂ψ  ∂η   ∂ψ  ⎠

     В результате сокращения получим:

                      ∂ 2Ф             ∂ ⎛ ∂Ф ⎞
                           = 0, или      ⎜    ⎟ = 0.               (2.23)
                     ∂ψ∂η             ∂η ⎝ ∂ψ ⎠
                                              ∂Ф
    Интегрируя это уравнение, находим что         = f (ψ ) – производная
                                              ∂ψ
                                                     ∂Ф
функция переменной ψ. От переменной η функция             не зависит, что
                                                     ∂ψ
                                                        ∂Ф
подтверждается равенством (2.23), где производная от        по η равна 0.
                                                        ∂ψ
Вторичное интегрирование дает:

                            Ф(ψη ) = ∫ f (ψ )∂ψ + f1 (η ) ,

где f1(η) – постоянная интегрирования по ψ является производной функци-
ей от η, что вполне возможно. Первое слагаемое обозначим через f2(ψ) и
будем считать его производной функцией от ψ, тогда Ф(ηψ )= f1(η) + f2(ψ),
или, выражая через начальные переменные х и t в соответствии с формула-
ми (2.18), имеем:

                             Ф(x, t) = f1(x − ct) + f2(x + ct).                  (2.24)

     Таким образом, получено решение волнового уравнения плоской
волны в самом общем виде, где f1 и f2 – две произвольные функции, опре-
деляемые конкретными физическими условиями. В гидроакустике наи-
больший интерес представляет гармонический волновой процесс. Прини-
мая во внимание произвольный характер функций f1(x−ct)
и f2(x+ct), задаемся потенциалом скоростей в функции косинуса от аргу-
                                          28