Рыбопромысловая гидроакустика. Карлик Я.С - 31 стр.

для удобства волновое уравнение целесообразно представить в сфериче-
ской системе координат:

                            ∂ 2 ( rФ ) 2 ∂ 2 ( rФ )
                                      =c            .             (2.31)
                                ∂t 2        ∂r 2

     По своей структуре дифференциальное уравнение сферической вол-
ны (2.31) не отличается от уравнения плоской волны (2.17). Разница
заключается лишь в том, что в уравнении (2.31) искомой функцией явля-
ется не потенциал скорости, а произведение rФ потенциала скорости на
радиус-вектор. Поэтому уравнение (2.31) аналогично решению волнового
уравнения для плоской волны (уравнение Даламбера). В тригонометриче-
ской форме оно имеет следующий вид [1, 2, 4]:

                    rФ = A cos(wt – kr) + B cos(wt + kr).         (2.32)

    Рассматривая распространение сферической волны в условиях неог-
раниченного пространства, исключаем отраженную волну и ограничива-
емся анализом бегущей волны. Исходя из этого последнее уравнение пе-
репишем так:

                                  Фm
                             Ф=      cos( wt − kr ) ,             (2.33)
                                   r

где Фm – амплитудное значение потенциала скорости в точке звукового
поля, для которой r = 1.
    Дадим характеристику звуковому полю, создаваемому сферическими
волнами. Сначала определим акустическое давление, создаваемое сфери-
ческой волной:
                               ∂Ф ρ0Фm w
                      p = − ρ0     =        sin( wt − kr ).
                                ∂t      r
                                                             ρФ w
    Обозначив амплитуду акустического давления через pm = 0 m ,
                                                                r
получаем:
                               p = pm sin(w – kr).             (2.34)
    Формулу, определяющую величину колебательной скорости частиц
среды, получим дифференцированием уравнения (2.33) по переменной r:

                  ∂Ф kФm                   Ф
                 v=  =     sin( wt − kr ) − 2m cos( wt − kr ) .
                  ∂r    r                  r
    Преобразуем полученное выражение:


                                      31