Физика фононов. Карпов С.В. - 117 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

2
2
21
21
])([
)2ln2!(
1
)(
x
h
m
VV
e
h
m
xH
V
x
ω
ω
ψ
−
ℜ=
где H
V
[x(m
ω
/h)
1/2
] – полиномы Эрмита. Вид первых нескольких уровней и волновых
функций этих возбужденных состояний показаны на рис.*.
Из этих выражений ясно, что энергия осциллятора равномерно распределена по
уровням, и он может принимать энергию только в количестве, кратном h
ω
. Степень
вырождения каждого состояния линейного гармонического осциллятора равна единице.
Гармонический осциллятор в трехмерном пространстве можно представить как
совокупность трех линейных гармонических осцилляторов с энергией, зависящей от
трех квантовых чисел n
1
, n
2
, n
3
E
n1
+E
n2
+E
n3
= h
ω
(n
1
+n
2
+n+3/2) = h
ω
(n+3/2)
Здесь n=n
1
+n
2
+n
3
. Поскольку есть много возможностей выбрать три целых числа
n
1
, n
2
, n
3
так, чтобы получить данное целое число n, то уровни энергии трехмерного
осциллятора вырождены. Например, для первого возбужденного состояния с n=1
можно выбрать три варианта: n
1
=1, n
2
=n
3
=0, или n
2
=1, n
1
=n
3
=0 или n
3
=1, n
1
=n
2
=0. Эти
три различных колебательных состояния отвечают движению вдоль направлений x,y,z и
соответственно имеют одну и ту же энергию. Для более высоких возбужденных
состояний имеется еще больше комбинаций из трех чисел, сумма которых определяет
энергию данного уровня. Поэтому при суммировании по состояниям нужно вводить
соответствующий весовой множитель g, который учитывает это
обстоятельство и
называется кратностью вырождения состояния. Легко можно найти всевозможные
комбинации трех чисел, составляющие в сумме заданное число и в общем случае.
Очевидно, имеется n+1 возможность выбора первого числа, скажем r(=0,1...,n); второе
число можно выбрать между 0 и n–r, следовательно, для него имеется n–r+1
возможность; третье квантовое число определится уже
точно. Поэтому степень
вырождения g уровня с квантовым числом n равна
∑
=
++=+−=
n
r
nnrng
0
2
1
)2)(1()1(
.
Кратность вырождения состояний трехмерного осциллятора для первых нескольких
уровней показана на рис.*. Кристалл, содержащий s атомов в элементарной ячейке и
имеющий N элементарных ячеек, можно рассматривать как совокупность 3sN линейных
осцилляторов, а не как sN трехмерных осцилляторов, поскольку уравнения движения
этих осцилляторов полностью разделяются.
Квант энергии колебаний кристаллической решетки
– фонон – отличается
величиной энергии h
ω
j
(к), волновым вектора k ,а. значит импульсом hk, и номером
ветви j. Число колебательных ветвей равно 3s, число различных значений волнового
вектора
k – N, так что в кристалле может существовать 3sN различных фононов. В
гармоническом приближении фононы по многим свойствам ведут себя подобно
идеальному газу. Все они движутся независимо друг от друга и не взаимодействуют

Страницы