Физика фононов. Карпов С.В. - 119 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Процесс рождения и уничтожения фононов удобно представить с помощью
квантовомеханических операторов рождения и уничтожения, действующих на функцию
состояния системы. Гамильтониан одиночного гармонического осциллятора,
записанный через сопряженные координату x и импульс p, имеет следующий вид:
22
2
2
2
x
m
m
p
H
ω
+=
)
Сопряженные операторы координаты x и импульса p подчиняются соотношению
коммутации (скобки Пуассона) такого типа [x,p]=ih.
Можно выбрать новые операторы рождения a
+
и уничтожения а возбуждения,
введенные как линейные комбинации операторов координаты и импульса с помощью
простого преобразования
)(
2
;)(
2
2
1
2
1
aa
hm
paa
m
h
x −
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⊕⊕
ω
ω
))
Коммутационные соотношения для этих операторов проще и имеют вид
[a,a
+
]=1
Выражая теперь H через эти операторы, получаем
)(
2
)(
22
1
2 ++++++++
++++−−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= aaaaaaaa
m
h
maaaaaaaa
hm
m
H
ω
ω
ω
)
Таким образом, гамильтониан имеет вид
)()1(
2
)(
2
2
1
+=+=+=
++++
aahaa
h
aaaa
h
H
ω
ω
ω
)
Квантовые свойства системы определены этим гамильтонианом и операторами
рождения а
+
и уничтожения a возбуждения. Поскольку произведение вида а
+
а
встречается довольно часто и играет важную роль, часто определяют оператор
Х=а
+
а.
Скобки Пуассона оператора Х с оператором a и a
+
выглядят так
[Х,а] = Ха-аХ = а
+
аа-аа
+
а = (а
+
а-аа
+
)а = -а

Страницы