Физика фононов. Карпов С.В. - 118 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

друг с другом. Поэтому кристалл можно рассматривать как сосуд, а фононы – как
точечные частицы в
k-пространстве. Отличие подобной системы от идеального газа
заключается лишь в том, что число фононов, вообще говоря, не сохраняется. При
повышении температуры, когда кристалл получает тепловую энергию, появляются
новые фононы, а при охлаждении число фононов уменьшается.
Фононы – частицы без спина и поэтому подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна.
Действительно, относительная вероятность найти систему
(осциллятор) при
температуре T в состоянии с энергией E
j
равна W
j
=g
j
exp(–E
j
/kT), где g
j
– степень
вырождения состояния j. Поскольку полная вероятность найти систему в любом из
возможных состояний равна единице, то абсолютная вероятность p
j
найти ее в
состоянии с энергией E
j
равна
∑
−
−
=
j
kT
E
j
kT
E
j
j
j
j
eg
eg
p
.
Тогда среднее значение энергии
E системы с набором стационарных состояний E
j
можно вычислить следующим образом.
∑∑
∑
∞
=
−
−
−
−
===
1
ln
)
1
(
1
jj
kT
E
j
j
kT
E
i
kT
E
jj
jj
j
j
j
eg
kT
d
eg
egE
pEE
Здесь суммирование ведется по всем состояниям системы от j=1 до j=∞. Для
гармонического осциллятора с энергией E
n
=h
ω
(n+1/2) это выражение можно записать
следующим образом
1
2
1
1
ln
)
1
(
1
1ln
)
1
(
1
2
0
2
−
+=
−
−
=⋅⋅
−
=
−
−
∞
=
−−
∑
kT
h
kT
h
kT
h
n
n
kT
h
kT
h
e
hh
e
e
kT
d
ee
kT
d
E
ωω
ωωω
ωω
.
Поэтому среднее значение энергии осциллятора при температуре T равно энергии
нулевых колебаний плюс величине кванта h
ω
, домноженного на величину
n=1/[exp(h
ω
/kT)-1], называемую фактором Бозе-Эйнштейна, который показывает
среднее число фононов h
ω
в кристалле при температуре Т. При низких температурах,
когда kT<<h
ω
, число фононов n(Т)
∝
exp(–h
ω
/kT), т.е. растет экспоненциально с
увеличением температуры. В то же время при высоких температурах, когда kT>>h
ω
,
число фононов в кристалле n(T)
∝
kT/h
ω
и изменяется пропорционально температуре T.
Поэтому увеличение тепловой энергии в кристалле можно рассматривать как процесс
рождения новых фононов. С другой стороны, если кристалл охлаждается и отдает
энергию, это означает, что фононы уничтожаются или аннигилируют.

Страницы