Физика фононов. Карпов С.В. - 122 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Они вычисляются при использовании невозмущенных (гармонических) волновых
функций |n> и |n′>.
Оператор x
3
(и x
4
), входящий в возмущение H′, может быть выражен через операторы
рождения a
+
и уничтожения a и может, следовательно, повышать, либо понижать
квантовый уровень осциллятора, либо оставлять возбуждение осциллятора без
изменений. В последнем случае любой переход в более высокое (или более низкое)
состояние должен "одновременно" сопровождаться переходом в более низкое (высокое)
состояние. Поскольку действие оператора рождения a
+
и оператора уничтожения a
известно, то можно вычислить член первого порядка H′
nn
и члены второго порядка H′
nm
и H′
mn
диаграмным методом, используя следующие правила:
1. Нарисовать горизонтальные линии – уровни энергии невозмущенного
осциллятора (поскольку в приближении рассматриваются невозмущенные волновые
функции);
2. Невозмущенные состояния можно соединять наклонными стрелками вверх и вниз,
представляющими переходы между уровнями, описываемыми операторами рождения
а
+
и уничтожения а возбуждения. Стрелка вверх ↑ соответствует вкладу в матричный
элемент величины [(h/2m
ω
)(n+1)]
1/2
, а стрелка вниз ↓ – вкладу [(h/2m
ω
)(n)]
1/2
;
3. Необходимо нарисовать столько переходов, каков порядок p возмущения:
x
3
=(a
+
+a)
3
= a+
3
+....; x
4
=(a
+
+a)
4
= a+
4
+....; и т.д.;
4. Следует нарисовать все возможные переходы из данного состояния n в конечное
состояние m , используя число переходов, соответствующее порядку возмущения p. Это
отбирает из члена типа (а
+
+а
–
)
p
разрешенные для данного перехода комбинации;
5. От каждой диаграммы получается член, состоящий из p вкладов (по одному от
каждой линии). Необходимо учесть, что могут существовать разные варианты
переходов из n в m , причем промежуточные состояния могут быть виртуальны.
В нашем случае член первого порядка теории возмущений описывается матричным
элементом
<n|H′|n>= H′
nn
, содержит два слагаемых (a
3
x
3
)
nn
и (a
4
x
4
)
nn
, и вызывает
смещение энергетического уровня на величину
∆ε
1
n
(куб)
и
∆ε
1
n
(четв)
. Очевидно
невозможно нарисовать три перехода так, чтобы начальное и конечное состояние было
бы одним и тем же состоянием n. Поэтому
∆ε
1
n
(куб)
=(a
3
x
3
)
nn
=0. Диаграммы,
представляющие член (a
4
x
4
)
nn
, показаны на следующей схеме:
Вклад в Hnn n
2
n
1
n
0
1. n+2 -----------
n+1 ----------- a
+
a
+
aa (n+1)(n+2) 1 3 2
-----------
2. n+1 ----------- a
+
aa
+
a (n+1)(n+1) 1 2 1

Страницы