Физика фононов. Карпов С.В. - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

связанных уравнений будет состоять из 3Ns уравнений:
()
p
m
pm
mn
pl
n
l
l
UФUm
β
β
αβ
α
,
,,
,
,
∑
−
••
= ,
Решение этой системы дифференциальных уравнений ищется в виде функций Блоха:
)(exp
, n
ll
n
krtiAU −=
ω
αα
.
Подстановка такого решения в систему 3sN дифференциальных уравнений дает 3s
алгебраических уравнений для отыскания амплитуд A
l
α
:
(
)
)]([exp
,,
,
2
nm
p
pm
mn
pl
l
l
rrktiAФAm −−=
∑
−
ωω
β
β
αβα
.
Можно ввести матрицу силовых постоянных
(
)
(
)
)]([exp
,, n
mn
m
mn
pl
k
pl
rrkiФD −=
∑
−
−
αβαβ
,
так что для неизвестных амплитуд система алгебраических уравнений будет выглядеть
так:
(
)
0][
,
,
2
,
=−
∑
β
β
αβαβ
δδω
p
p
pl
k
pl
AD .
Приравнивание к нулю определителя этой однородной системы приводит к
характеристическому (или вековому) уравнению степени 3s относительно
ω
2
. Решение
его дает дисперсионную связь между частотой
ω
и волновым вектором k волны.
Поскольку должно быть 3s корней, то существует 3s зависимостей вида
ω
j
(k), которые
называются ветвями. Частоты
ω
трех ветвей при k→0 стремятся к нулю – эти ветви
называются акустическими. Остальные 3s –3 ветви – оптические ветви.
Подставляя 3s корней
ω
j
(k) в систему однородных алгебраических уравнений для
амплитуд получим с точностью до постоянного множителя 3s различных решений для
амплитуд A
l
α
(k).
Матрица
(
)
k
pl
D
,
αβ
эрмитова, так что все корни векового уравнения вещественны (и
положительны). Кроме того, т.к.
(
)
(
)
k
pl
k
pl
DD
−
=
,,
αβαβ
, то вековoе уравнение инвариантно

Страницы