Физика фононов. Карпов С.В. - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

так что
(
K
m
,r
n
)=2π(n
1
m
1
+n
2
m
2
+n
3
m
3
)=2π*(целое число).
Таким образом, волна с волновым вектором
k′=k+К
m
совпадает с волной с вектором
k, т.е. эти два вектора физически неотличимы. Поэтому изменения волнового вектора k
необходимо рассматривать в ограниченной области (как и в случае одномерной
цепочки). Величина (
k,r
n
) в показателе экспоненты может быть задана с точностью до
постоянной 2π(целое число), т.е. величина (
k,r
n
) всегда может быть выбрана в интервале
2π. Поскольку решения колебательной задачи инвариантны относительно замены
k на –
k
, то удобно рассматривать для произведения (k,r
n
) симметричный интервал от –
π
до
+
π
, чтобы учесть волны, распространяющиеся как в одну, так и в противоположную
стороны. В случае прямоугольной ячейки вектора
a
1
, a
2
и a
3
ортогональны друг другу и,
полагая, что
K
m
=b
i
, а r
n
= a
j
, получим для произвольного вектора k
l
:
(k
l
+K
m
,r
n
)=(k
l
+b
i
,a
j
)=(k
l
,a
j
)+2π;
–
π
< (k
l
a
j
) < +
π
–
π
/a
j
< k
l
< +
π
/a
j
.
В общем случае ясно, что областью периодичности решений в
k- пространстве
является элементарная ячейка обратной решетки с векторами
b
1
, b
2
, b
3
. Чтобы учесть
волны, распространяющиеся в противоположные стороны, область периодичности
выбирают так, чтобы она имела центр симметрии. Существует известный способ
построения ячеек, имеющих центр симметрии – построение Вигнера-Зейца: из
выбранного узла нужно провести векторы к ближайшим узлам решетки и построить
плоскости, перпендикулярные этим векторам и проходящие через их середину. Тогда
область,
которую ограничат все эти плоскости и будет центрированной элементарной
ячейкой Вигнера-Зейца. Ячейка Вигнера-Зейца обратной решетки называется первой
зоной Бриллюэна. Построение обратной решетки и первой зоны Бриллюэна для плоской
косоугольной решетки с векторами
a
1
, a
2
показано на рис.32.

Страницы