Составители:
Рубрика:
осуществить решение для трехмерного случая не так просто. С другой стороны, именно
для трехмерного случая есть смысл делать расчеты, чтобы сопоставить их с
экспериментом. Вообще говоря, при решении подобных задач нельзя ограничиться
взаимодействием только с ближайшими соседями. Например, для ионных кристаллов
потенциал взаимодействия спадает с расстоянием очень медленно, как 1/r. В
ряде
случаев важен учет деформации ионов при колебаниях. Это особенно важно учитывать
для гомополярных кристаллах, поскольку колебания атомов могут деформировать
электронную плотность на ковалентных связях. Тем не менее, с появлением доступной
мощной вычислительной техники в последние годы появилось много расчетных
программ для решения подобных задач. Необходимо отметить, что решение
дисперсионного
уравнения нет необходимости проводить для всех различных значений
волнового вектора
k в зоне Бриллюэна. Поскольку зона Бриллюэна обладает
симметрией прямой решетки и еще центром инверсии, можно найти так называемый
неприводимый элемент зоны, который при применении различных операций симметрии
позволяет получить всю зону. Для кубической решетки таким неприводимым
элементом зоны является 1/48 часть первой зоны Бриллюэна.
Решение колебательной задачи в виде плоской волны
U
l
nα
=A
l
α
exp[i(ωt–kr
n
)], где
частота
ω
может принимать N значений в 3s ветвях
ω
j
(k), указывает, что каждый атом
совершает ряд движений с разными частотами. Как и в случае молекулы, можно найти
систему координат, в которой и кинетическая и потенциальная энергия системы
принимает квадратичную форму, а смещения частиц описываются нормальными
координатами. Оставляя вопрос о нахождении такого преобразования до следующего
параграфа, заметим, что совокупности смещений, образующие
нормальные координаты,
должны преобразовываться по неприводимым представлениям каких-либо точечных
групп. Для
k=0 (центр зоны Бриллюэна, точка Г), эта группа – фактор-группа кристалла,
изоморфная точечной группе симметрии кристалла. Для остальных точек зоны
Бриллюэна точечная группа, по неприводимым представлениям которой преобразуются
нормальные координаты с
k≠0 определяется симметрией соответствующей точки зоны
Бриллюэна. Например, в кубической решетке точки Г обладает голоэдрической
симметрией решетки Браве m3m, точка X – симметрией 4/mmm, точка L – 3m и т.д.
3.7. Расчеты колебаний кристаллов
Для сложных систем, какими являются кристаллы, расчеты их колебаний обычно
ограничиваются рамками адиабатического и гармонического приближений.
Существует, тем не менее, два принципиально разных подхода в таких расчетах. Эти
подходы отличаются различным описанием поля упругих сил, в котором происходит
движение точечных масс. Исторически сложившийся первый подход не предполагает
знания аналитического вида
потенциальной функции системы V(r), но дает право
представить энергию системы квадратичной формой V(r)=1/2
Σ
(d
2
V/dr
i
dr
j
)
o
r
i
r
j
. Элементы
Фij этого раздожения, составляющую матрицу силовых постоянных, обыкновенно
рассматриваются как независимые подгоночные параметры теории. Кинетическая
энергия колеблющейся системы также может быть представлена квадратичной формой
типа T=1/2
Σ
M
ij
r
i
r
j
. Здесь Mij являются функциями масс частиц. Математический смысл
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 81
- 82
- 83
- 84
- 85
- …
- следующая ›
- последняя »
