Физика фононов. Карпов С.В. - 87 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

3.7 Функция распределения плотности частот.
В ряде термодинамических задач важно знать функцию распределения плотности
частот g(
ω
). g(
ω
) – относительное число частот, заключенное в интервале частот от
ω
до
ω
+d
ω
. Относительное число частот – это число частот, отнесенное ко всему числу
частот кристалла 3N. Часто используют нормированную на единицу функцию
плотности частот:
∫
∑
∫
=
==
max max
min
0
3
1
1)()(
ωω
ω
ωωωω
s
j
j
dgdg
g
j
(
ω
) - функция плотности частот в ветви j.
Единственный путь получить функцию распределения плотности частот - это
решить вековое уравнение для всех точек зоны Бриллюэна, поскольку общих
соотношений для функции g(
ω
) не существует. Однако, для идеализированного случая
изотропной и непрерывной среды получить функцию распределения плотности частот
достаточно просто.
Предположим, что в такой среде существует предельная частота
ω
max
. Вследствие
непрерывности среды и ее изотропности значение
ω
max
будет достигаться для
одинаковых волновых векторов в любом направлении. Поэтому зона Бриллюэна в этом
случае должна выглядеть сферой. Изочастотные поверхности в обратном пространстве
(пространстве волновых векторов) также будут изображаться сферой. Поэтому число
различных колебаний dN, заключеных между частотой
ω
и
ω
+d
ω
будет
пропорционально объему шарового слоя dN=4
π
a
2
∼ω
2
d
ω
, а плотность частот равна
2
)(
ω
ω
ω
A
d
dN
g ∝≡
Разумеется, модель можно усложнить и рассматривать распределение частот в
каждой ветви. Однако, для дискретной среды функция распределения плотности частот
не имеет такого гладкого вида. Для простоты можно рассматривать лишь одну ветвь.
Доля общего числа частот, лежащих в интервале от
ω
до
ω
+d
ω
всегда будет
пропорциональна объему обратного пространства, определяющего этот интервал
частот:
,)()(
3
∫∫∫
∝
V
dkAdg
ωω
где интеграл берется по объему слоя, для которого
ω
<
ω
k
<
ω
+d
ω
. Введем вектор
dz
dV
k
dy
dV
j
dx
dV
ikgradV
z
y
x
kk
++== )(
ω
–

Страницы