Физика фононов. Карпов С.В. - 88 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

градиент частоты в k-пространстве. Он имеет размерность скорости и представляет
собой групповую скорость пакета с волновым вектором
k в среде, имеющей дисперсию.
Используя эту величину, можно преобразовать выражение для плотности частот
следующим образом. За элемент объема в
k-пространстве возьмем цилиндр с
образующей вдоль направления grad
k
ω(k) и основанием, перпендикулярным этому
направлению (т.е. на изочастотной поверхности
ω
(k)=const). Площадь основания
цилиндра – dS
ω
, а высота dk
N
=d
ω
/grad
k
ω
(k). Поэтому функция плотности частот может
быть представлена так:
()
∫∫∫ ∫∫ ∫∫
===
VS S
k
N
d
kgrad
dS
AdkdSAdkAdg
ω
ω
ωω
ω
ω
)(
)(
3
Если в какой-либо точке grad
k
ω
(k)=0, то функция g(
ω
) имеет особенность. В
одномерном случае в этой точке (d
ω
/dk)=0, и плотность частот стремится к ∞, хотя сама
ω
(k) может и не обращаться в ∞ Такие точки обратного пространства носят название
критических точек функции плотности состояний. Если вблизи такой точки
дисперсионную зависимость
ω
(k) можно разложить в ряд Тейлора, то такие
критические точки называются аналитическими критическими точками. Вблизи такой
точки
k
o
можно написать:
io
K
i
iiiio
dk
kd
kkkk
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=−=+++=
2
2
0
2
33
2
22
2
11
)(
);(;)()(
ω
ηγηγηγηγωω
Рассматриваемое разложения не содержит линейных членов по
η
i
, поскольку
grad
k
ω
(k)=0. В зависимости от числа I отрицательных знаков в совокупности
коэффициентов
γ
1
,
γ
2
и
γ
3
разложения (I – индекс критической точки или число
Бетти) аналитические критические точки различаются следующим образом:
1. I=3, точка P
3
т.е.
γ
i
<0 для всех I=1,2,3.
ω
(k) имеет локальный максимум, т.к.
любое значение
ω
(k) меньше, чем значение функции в рассматриваемой точке
ω
(k
o
). Поверхность постоянной частоты – эквипотенциальная поверхность
ω
(k)
вблизи этой точки представляет собой эллипсоид с главными полуосями
γ
1
,
γ
2
,
γ
3
.
Объем обратного пространства, ограничиваемый такой поверхностью вблизи точки
ω
(k
o
) равен
21
321
2322
3
)(
)(
3
4
3
4
γγγ
ωω
ππ
−
∝
o
R
Поэтому функция плотности частот в этом месте имеет

Страницы