Фононы в нанокристаллах. Карпов С.В. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Уравнение (18) позволяет вычислить зависимость величины блоховского
волнового вектора
k в сверхрешетке (вдоль направления роста) от ω и q
x
. Интересно, что
уравнение (18) появилось в результате применения электростатических граничных
условий и не гарантирует выполнения механических граничных условий. Оказывается,
это приводит к интерфейсным волнам, имеющим не нулевые смещения на границе двух
сред. Полезно рассмотреть несколько предельных случаев (18), и прежде всего, случай
распространения в плоскости при
k = 0, но q
x
≠ 0. Можно показать, что (18) сводится к
двум ветвям
–
ε
A
(ω)/ε
B
(ω) = th(q
x
d
A
/2) ch(q
x
d
B
/2) либо
–
ε
A
(ω)/ε
B
(ω) = th(q
x
d
B
/2) ch(q
x
d
A
/2) .
В случае, когда величина суммарного волнового вектора
(q
x
+ k
2
)
1/2
стремится к нулю,
секулярное уравнение (18) сводится к виду
<
ε(ω)><ε
–1
(ω)> = tg
2
θ , (19)
где < > обозначают среднее значение функций на одном периоде сверхрешетки, а
θ – угол
между волновым вектором и осью роста решетки. Можно установить, что даже при
(q
x
, k)
→0 частота имеет дисперсию, являясь функцией угла θ. Последнее связано с сингулярной
природой кулоновского взаимодействия.
В случае распространения волны в плоскости сверхрешетки (т.е. когда угол
θ=π/2)
уравнение (19) распадается на два уравнения следующего вида:
<
ε(ω)>=1/d
AB
[d
A
ε
A
(ω)+ d
B
ε
B
(ω)]=0 (20a)
<ε
–1
(ω)> = 1/d
AB
[d
A /
ε
A
(ω)+ d
B /
ε
B
(ω)]=0 . (20b)
Две резонансных частоты в случае стремящегося к нулю волнового вектора при
θ=π/2 становятся равными частотам интерфейсных фононов в случае одного интерфейса.
При
d
A
≠
d
B
вырожденные частоты расщепляются.
Уравнения (20
а, б), справедливые при θ=π/2, можно непосредственно получить,
применив граничные условия для
E
||
и D
┴
при k
х
→0 (т.е. бесконечной длине волны вдоль
х). В этом случае с помощью ф(х, z), приведенного на рис. 20 для слоя В, можно увидеть,
что
Е
х
однородно для четных решений, a E
z
— для нечетных. Для первого случая из
граничного условия для
Е
||
:
E
||A
= E
||B
(21)
и после усреднения по А и В (по периоду) находим:
<
D
||A
> = <ε(ω)>D
||B
(22)
Поэтому периодическую сверхрешетку можно рассматривать как кристалл,
имеющий эффективную диэлектрическую функцию <
ε(ω)>. «Продольные» моды
эффективной среды имеют частоту, определенную выражением (20а). В «нечетном»
случае
Е
┴
однородна, а непрерывность D
┴
приводит к уравнению
E
┴
= <1/ ε(ω)> D
┴
(23)
Соответствующую частоту действительно можно найти из (20
б). На основании всего
изложенного можно рассматривать сверхрешетку как кристалл, в котором объемная
симметрия составляющих его сред понижена вседствие слоистости структуры: для

Страницы