Фононы в нанокристаллах. Карпов С.В. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Рис. 4. Моноатомная цепочка: а) цепочка частиц массой m с периодом решетки a; б) дисперсионная
зависимость
ω
(k) для линейной моноатомной цепочки. Тангенс угла наклона дисперсионной зависимости
равен скорости звука в цепочке. в) физический смысл волнового вектора k. Если найти ближайший к атому
n атом n+m, имеющий то же смещение, что и атом n, т.е. потребовать выполнения U
n
=U
n+m
, то ясен
физический смысл волнового вектора k: эта величина по модулю равна 2
π⁄
λ, где λ=am – длина волны
возбуждения.
Так как дисперсионная зависимость
ω
(k) периодична по k с периодом 2
π
/a, область
изменения волнового вектора k также периодична и выбирается симметричной от –
π
/a до
+
π
/a, чтобы учесть волны, бегущие в противоположных направлениях. Эта область носит
название первой зоны Бриллюэна. Таким образом, максимальная частота собственных
колебаний системы не можен превышать
ω
max=
(4β/m)
1/2
. Волны с частотами
ω
>
ω
max
будут
распространяться через цепочку с затуханием, поскольку при этом условии из
дисперсионного соотношения следует, что sin(ka/2)>1, т.е. волновой вектор k
представляет собой комплексную величину k+i
α
:
22
cos
22
sin
2
sin
2
~
sin
1
2
sin
4
2
max
222
ααα
ωω
β
ω
a
sh
ka
i
a
ch
ka
a
ikak
при
ka
m
⋅+=
+
=
≥≥=
Мнимая часть этого выражения равна нулю, т.к. частота действительна. Следовательно,
cos(ka/2)=0 и k=
π
/a, т.е. соседние частицы при таком движении колеблются в
противофазе, а само движение имеет вид затухающей с коэффициентом
α волны (рис. 5):
)(
)(
)
~
( ntian
o
an
a
ti
an
o
ankti
on
eeAeeAeAU
πωα
π
ω
αω
+−
+
−+
⋅=⋅==
.
Для малых волновых векторов k≈0 (
λ
→∞) движение частиц происходит в фазе с

Страницы