Составители:
Рубрика:
(ненулевое) решение, необходимо, чтобы ее детерминант равнялся нулю.
A
1
(m
1
ω
2
–2
β
)+A
2
2
β
coska'=0
A
1
2
β
coska'+A
2
(m2
ω
2
–2
β
)=0.
Это дает связь между частотой возбуждения
ω
и волновым вектором k, которая, как
известно, носит название дисперсионного соотношения:
21
2
2121
2
2,1
)
2
(sin4
1111
mm
ak
mmmm
′
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+±
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
βω
(1)
Дисперсионное соотношение можно записать и так ( ибо 1
-2sin
2
ka'=coska):
]cos2)[(
21
2
2
2
121
21
2
2,1
kammmmmm
mm
++±+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
β
ω
. (2)
Здесь волновой вектор
k принимает ряд значений в соответствии в граничными
условиями задачи. Дисперсионное условие имеет два корня
ω
1
,
ω
2
, так что каждому
значению волнового вектора
k соответствует две волны. Таким образом, дисперсионная
кривая имеет две ветви – акустическую (знак –) и оптическую (знак +).
Легко получить значения частот при
k=0 и на границе зоны Бриллюэна (k=
π
/a). Для
акустических колебаний это область от
ω
a
min
=0 до
ω
а
max
=(2
β
/m
1
)
1/2
, а для оптических это
область от
ω
o
min
=(2
β
/m
2
)
1/2
до значения
ω
o
max
=(2
β
(1/m
1
+1/m
2
))
1/2
. Если ограничиться
взаимодействием лишь ближайших соседей, то ветви внутри зоны гладки. Обе ветви идут
не пересекая друг друга и имеет место область запрещенных частот от значения (2
β
/m
1
)
1/2
до (2
β
/m
2
)
1/2
.
Известно, что частоты акустической и оптической ветви вблизи границы зоны
Бриллюэна меняются по параболическому закону, а групповая скорость волны на границе
зоны Бриллюэна равна нулю, т.е. это стоячая волна.
Рис. 6. Дисперсионная зависимость
ω
(k) для двухатомной линейной цепочки. 1 – дисперсивная область, т.е.
зона собственных колебательных состояний); 2 – реактивная область – красная, т.е. запрещенная зона
частот.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- …
- следующая ›
- последняя »
