Фононы в нанокристаллах. Карпов С.В. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

частотами, пропорциональными величине k (ka<<1). При увеличении волнового вектора
до значения
π
/a, соответствующего границе зоны Бриллюэна, частота принимает
значение
ω
max=
(4β/m)
1/2
, а на более высоких частотах волновой вектор становится
комплексным
k=
π
/a+i
α
, причем действительная его часть равна
π
/a. На графике
дисперсионной зависимости (рис. 7) комплексное значение волнового вектора удобно
откладывать по оси
k за значением
π
/a, соответствующем границе зоны Бриллюэна,
подчеркивая этим, что действительная его часть равна
π
/a.
Рис. 5. Колебания моноатомной цепочки с частотами выше максимальной. Вид движений при вынужденных
колебаниях цепочки с частотами
ω
2
>>ω
2
max
=4
β
/m, [
ω
=4
β
/m
.
sin(
κ
a/2)]. Если частота внешнего воздействия
ω
2
>>ω
2
max
=4
β
/m, это означает, что волновой вектор k является комплексным числом
κ
=k+iχ, так что
sin(
κ
a/2)=sin[(k+i
χ
)a/2]=sin(ka/2)⋅ch(χa/2)+i
⋅
cos(ka/2)⋅sh(χa/2); поскольку sin(
κ
a/2) определяет физическую
частоту
ω
=4
β
/m
.
sin(
κ
a/2), и должен быть действительным числом, мнимая часть этого выражения равна
нулю, что может иметь место только когда значение ka/2=
π
/2. Таким образом, соседние частицы
колеблются в противофазе. Поэтому смещение частиц в цепочке должно иметь вид:
u
n
=A
⋅
exp[i(
ω⋅
t+an/
π
a)]
⋅
exp(–χan). Это показано на рисунке.
В бесконечной одномерой цепочке, элементарная ячейка которой содержит 2
частицы (см. рис. 6), существуют две ветви – акустическая и оптическая. Трехмерным
аналогом такой модели могут быть кристаллы
NaCl, KBr и др. Постоянная решетки
a=a'/2, a' – расстояние между соседними атомами, массы частиц – m
1
>m
2
, упругие
силовые постоянные –
β
1
=
β
2
=
β
. Обычно используют четную нумерацию для частиц
массы
m
1
и нечетную – для частиц массы m
2
. Соответствующие смещения U
2n
и U
2n+1
.
Система дифференциальных уравнений, описывающая движение частиц, имеет
бесконечное число пар уравнений, имеющих для легкой и тяжелой частицы следующий
вид:
)()(
)()(
2212212
12
2
122122
2
1
+++
+
••
+−
••
−−−−=
−−−−=
nnnn
n
nnnn
n
UUUUUm
UUUUUm
ββ
ββ
.
Решение этой системы ищут в виде, удовлетворяющем теореме Блоха, т.е. в виде
периодической функции, определенной в элементарной ячейке, домноженной на фазовый
множитель expi(
k,r
n
):
])12(
212
]2[
12
anktip
n
ankti
n
eAUeAU
′
++
+
′
+
==
ωω
,
где
A
1
и A
2
– амплитуды смещений частиц массы m
1
и m
2
,
ω
– частота колебаний, а k –
волновой вектор возбуждения.
Подстановка этих решений в бесконечную систему дифференциальных уравнений
приводит eё к однородной системе из двух алгебраических уравнений относительно
неизвестных амплитуд колебаний
А
1
и А
2
. Известно, чтобы система имела нетривиальное

Страницы