Составители:
22 23
1.7. Принцип возможных перемещений. Полная энергия
деформации
Конструкции приходится, в основном, рассчитывать на действие вне-
шних сил. В статических расчётах предполагают, что внешние силы при-
кладываются постепенно, без заметных скоростей и ускорений, что даёт
основание пренебречь силами сопротивления среды и силами инерции.
При расчёте конструкций любой сложности чаще всего использу-
ются приближённые методы
решения уравнений равновесия, вывод
которых основан на вариационных принципах. Пусть на некоторую
конструкцию действуют объёмные силы
),,(
321
XXXX
&
и поверхност-
ные нагрузки
),,(
321 vvvv
PPPP
&
на некоторой части поверхности
1
S
.
На оставшейся части поверхности заданы перемещения
),,(
321
2
uuuuu
S
&
&
. Под действием приложенных нагрузок конструкция
получает перемещения
),,(
321
uuuu
&
, в результате чего возникают де-
формации
ij
ε
и напряжения
ij
σ
. Далее, пусть перемещения тела в егоо
равновесном состоянии получили возможные перемещения
321
δ,δ,δ uuu
, что привело к появлению бесконечно малых деформаций
ij
δε
и напряжений
ij
δσ
. Согласно принципу возможных перемещений,
если конструкция находится в равновесии, то сумма работ внешних
и внутренних сил на любых возможных бесконечно малых перемеще-
ниях, не противоречащих кинематическим связям, равна нулю. То есть
0δδδεσ
1
³³³³³³³³
S
ivi
V
ii
V
ijij
dSuPdVuXdV
. (1.37)
Принцип возможных перемещений в данной формулировке (1.37)
справедлив при любых свойствах материала тела [18, 19], т. е. при про-
извольном законе связи между компонентами напряжений и деформа-
ций и произвольном законе кинематической связи между компонента-
ми перемещений
i
u
и деформаций
ij
ε
.
Полная энергия деформации тела представляет собой функцио-
нал (1.3).
При линейно-упругом деформировании полная энергия деформа-
ции будет иметь вид
³³³
HV
llh
h
z
xx
wdxxqdxdz
00
2/
2/
)(
2
1
Э
(1.38)
для стержня,
>
@
³³³³ ³
WJVHVH
abab h
h
xy
z
xyy
z
yx
z
x
wdxdyyxqdxdydz
0000
2/
2/
),(
2
1
Э
(1.39)
для пластины и оболочки.
Рассматривая потенциальную энергию П как функцию компонент
деформации и учитывая зависимости между напряжениями и дефор-
мациями (1.13), (1.14), найдём вариацию функционалов (1.38), (1.39).
Для стержня получим
GVGHGHV G
³³³
llh
h
x
z
x
z
xx
dxwqdxdz
00
2/
2/
2
1
Э
GHGHGHH
³³³
llh
h
z
x
z
x
z
x
z
x
dxwqdxdzEE
00
2/
2/
)(
2
1
³³³
llh
h
z
xx
dxwqdxdz
00
2/
2/
δδεσ
; (1.40)
для пластины и оболочки имеем
³³ ³
VGHGHVVGHGHV G
ab h
h
y
z
y
z
yyx
z
x
z
xx
00
2/
2/
2
1
Э
GWGJGJW
³³
ab
xy
z
xy
z
xxy
dxdywqdxdydz
00
>
@
>
@
¨
¨
©
§
PHHG
P
HGHPHH
P
³³ ³
ab h
h
z
y
z
x
z
x
z
x
z
y
z
x
EE
00
2/
2/
22
11
2
1
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- …
- следующая ›
- последняя »
