Составители:
26 27
1.8. Уравнения равновесия
1.8.1. Линейно-упругие задачи
Функционал полной энергии деформации стержня, находящегося
под действием распределённой нагрузки
)(xq
, для линейно-упругой
задачи имеет вид (1.38) или с учётом (1.6), (1.13)
³³
F
ll
qwdxdxEI
00
2
.
2
1
Э
(1.47)
Найдём первую вариацию и приравняем к нулю:
.0Э
00
GGFF G
³³
ll
dxwqdxEI
(1.48)
Преобразуем первый интеграл в (1.48), дважды интегрируя
по частям и заменяя
χ
на
w
cc
по формуле (1.7):
³
l
dxEI
0
δχχ
>@
c
G
ccc
c
G
cc
cc
G
cc
³³
l
l
l
dxwwEIwwEIdxwwEI
0
0
0
>@>@
³
GG
ccc
c
G
cc
l
ll
dxwwEIwwEIwwEI
0
)4(
00
.
В результате уравнение (1.48) принимает вид
>@>@
0
00
0
4
4
G
ccc
c
G
cc
G
»
¼
º
«
¬
ª
³
ll
l
wwEIwwEIdxwq
dx
wd
EI
. (1.49)
Так как
wδ
– произвольные (не могут равняться нулю на отрезкее
];0[ l
), то выражение, стоящее под знаком интеграла в скобках, должно
равняться нулю:
0
4
4
q
d
x
wd
EI
,
или
0
2
2
q
d
x
Md
, (1.50)
где M определён формулой (1.18).
Из равенства нулю оставшихся членов уравнения (1.49) получают
краевые условия на концах стержня при
0
x
и
l
x
:
0
cc
wEI
или
0
c
w
;
0
c
c
c
wE
I
или
0
w
.
Будем рассматривать два способа закрепления концов стержня:
1) жёсткая заделка:
0)(,0)0(
l
ww
,
0)(,0)0(
c
c
l
ww
; (1.51)
2) шарнирное закрепление:
0)(,0)0(
l
ww
,
0)(,0)0(
c
c
c
c
l
ww
. (1.52)
Полная энергия деформации прямоугольной пластины при изгибе
имеет вид (1.39), где
z
x
ε
,
z
y
ε
,
z
xy
γ
имеют вид (1.8), (1.9). Выражение по-
тенциальной энергии деформации пластины можно представить в виде
»
»
¼
º
«
«
¬
ª
W
ww
w
V
w
w
V
w
w
³³ ³³³
ab h
h
xy
h
h
y
h
h
x
dxdyqwzdz
yx
w
zdz
y
w
zdz
x
w
00
2/
2/
2
2/
2/
2
2
2/
2/
2
2
22
2
1
Э
.22
2
1
00
2
2
2
2
2
dxdyqw
yx
w
M
y
w
M
x
w
M
ab
xyyx
³³
»
¼
º
«
¬
ª
ww
w
w
w
w
w
(1.53)
Здесь учтено, что напряжения
x
σ
,
y
σ
,
xy
τ
,
yx
τ
создают изгибающие
x
M
,
y
M
и крутящие
xy
M ,
yx
M
моменты (1.19).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- …
- следующая ›
- последняя »
