Комплексный расчет элементов строительных конструкций в среде MATLAB. Карпов В.В - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

40 41
¦
\M
N
i
iii
N
cvyxv
1
)2()2()2(
),(
, (2.2)
¦
\M
N
i
iii
N
cwyxw
1
)3()3()3(
),(
.
Здесь
)3()2()1(
,,
iii
ccc
– неизвестные числовые параметры;
)1(
i
M
,
)2(
i
M
,
)3(
i
M
– известные аппроксимирующие функции переменной x, удовлетво-
ряющие при
axx ,0
заданным краевым условиям;
)1(
i
\
,
)2(
i
\
,
)3(
i
\
–
известные аппроксимирующие функции переменной
y
, удовлетворя-
ющие при
byy ,0
заданным краевым условиям. Функции
)(k
i
M
,
)(k
i
\
(
3,2,1 k
) называются базисными функциями.
Подставляя (2.2) в (2.1) и выполняя интегрирование от известных
функций, сведём функционал (2.1) к функции
)3()3(
1
)2()2(
1
)1()1(
1
,,,,,,,,
NNN
ccccccJJ
(2.3)
параметров
)1(
i
c
,
)2(
i
c
,
)3(
i
c
,
Ni ,,1
.
Чтобы функция (2.3) имела минимум, её частные производные
по переменным
)1(
i
c
,
)2(
i
c
,
)3(
i
c
,
N
i ,,1
, должны обращаться в нуль:ль:
0
)1(
w
w
m
c
J
,
0
)2(
w
w
m
c
J
,
0
)3(
w
w
m
c
J
,
N
m ,,1
. (2.4)
Система (2.4) представляет собой систему линейных алгебраичес-
ких уравнений, для решения которой можно применять метод Гаусса.
Найденные значения параметров
)1(
i
c
,
)2(
i
c
,
)3(
i
c
подставляем в разложе-же-
ния (2.2) и получаем приближённое решение поставленной задачи. Су-
ществование минимума функционалов полной энергии деформации
элементов строительных конструкций (стержень, плита, оболочка) до-
казано [6, 7, 15].
2.1.2. Метод Бубнова – Галеркина
Рассматривается краевая задача: найти решение уравнений равно-
весия (системы линейных дифференциальных уравнений)
0)),()
,
,()
,
,((
f
y
x
wy
x
vy
x
u
L
(2.5)
в некоторой области
}0;0{ byaxD dddd
, удовлетворяющее на гра-
нице Г области однородным краевым условиям.
Возьмём приближённое решение в виде (2.2). Подставляя (2.2)
в (2.5) получим невязку
ffwvuL
NNN
),,(
.
Если
NNN
wvu ,,
– точное решение уравнения (2.5), то невязка
f
G
равна нулю. Если невязка близка к нулю, то можно считать, что она
ортогональна к аппроксимирующим функциям. Условие ортогонально-
сти имеет вид
>@
0),,(
00
)1()1(
\M
³³
ab
mmNNN
dxdyfwvuL
,
>@
0),,(
00
)2()2(
\M
³³
ab
mmNNN
dxdyfwvuL
, (2.6)
>@
0),,(
00
)3()3(
\M
³³
ab
mmNNN
dxdyfwvuL
.
Система (2.6) – система линейных алгебраических уравнений.
2.2. Алгоритмы решения линейно-упругих задач
Для нахождения НДС стержня, плиты, оболочки, находящихся под
действием поперечной нагрузки и закреплённых по контуру опреде-
лённым образом, будем к соответствующим функционалам полной энер-
гии деформации применять метод Ритца. В результате для стержня,
пластины и оболочки придём к системе линейных алгебраических
урав-
нений вида
B
A
C
, (2.7)

Страницы