ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
0
)0(,)(),(
)(
λ=λ+λ=
λ
λ
tntg
d
t
td
, (7.2)
где g(t, λ) – известная функция аргументов t и λ.
В зависимости от вида уравнения наблюдения (7.1) и уравнения сообщения (7.2), следует различать два
класса задач фильтрации:
1. Линейная фильтрация – уравнения (7.1) и (7.2) являются линейными относительно сообщения λ(t).
2. Нелинейная фильтрация – уравнения (7.1) или (7.2) содержат нелинейные функции сообщения λ(t).
Очевидно, что линейная фильтрация является частным случаем нелинейной фильтрации. Основополагаю-
щие результаты по теории нелинейной фильтрации получены Р.Л. Стратоновичем.
Наблюдение и обработка принятого колебания ξ(t) могут осущест-
вляться двумя методами: в непрерывном времени (аналоговая фильтрация) и в дискретном времени (дискретная
фильтрация). При дискретной обработке берутся временные отсчёты ξ(t
ν
) с соблюдением теоремы Котельнико-
ва, например, через равноотстоящие промежутки времени t
ν+1
– t
ν
= ∆ = const.
В дискретном времени уравнения наблюдения и сообщения имеют следующий вид
(
)
()
+λ=λ
+λ=ξ
λν−ννν
νννν
(7.4) .,
(7.3) ;,
1
ntg
nts
7.2. КРИТЕРИИ ОПТИМАЛЬНОСТИ ФИЛЬТРАЦИИ
Рассмотрим критерии оптимальности, применяемые в теории фильтрации. Пусть на входе фильтра наблю-
дается реализация процесса (7.1)
(
)
(
)
[
]
(
)
,, tnttstx
+
λ
=
(7.5)
где λ(t), n(t) – являются реализациями соответственно сообщения и шума.
Фильтр будет оптимальным, если на его выходе формируется процесс y(t), являющийся оптимальной, т.е.
наилучшей в определённом смысле, оценкой сообщения
)(
ˆ
tλ .
То, что вкладывается в понятие оптимальной оценки
)(
ˆ
tλ , определяется выбранным критерием оптималь-
ности. Критерий оптимальности сформулируем, исходя из апостериорной плотности вероятности p(λ, t | x(t)),
определяемой на интервале наблюдения [0, t]. Интервал наблюдения за счет роста t непрерывно увеличивается.
Это приводит к увеличению объёма выборки и к сужению апостериорной плотности вероятности p(λ,
t | x(t)), ха-
рактеризующей плотность вероятности сообщения λ(t) в конечной точке интервала наблюдения. Сужение p(λ,
t |
x(t)) соответствует уменьшению дисперсии оценки сообщения R(t) =
)(
ˆ
tD
λ
, что является самым важным резуль-
татом фильтрации.
При гауссовском белом шуме n(t) и достаточно высоком отношении сигнал/шум
0
2
N
E
q
s
= , апостериорная
плотность вероятности p(λ, t | x(t)), приближается к гауссовскому закону, для которого мода, медиана и матема-
тическое ожидание совпадают.
Это означает, что если в качестве критерия оптимальности рассматривать получение оценки
λ
ˆ
по макси-
муму апостериорной плотности вероятности
p(λ, t | x(t)) = max, (7.6)
то найденная таким образом оценка )(
ˆ
tλ является оптимальной также в том смысле, что обеспечивается в каж-
дый момент времени минимум среднего значения квадрата ошибки между оценкой и передаваемым сообщени-
ем:
(
)
min)(
ˆ
)(
2
=λ−λ tt . (7.7)
Таким образом, если согласно (7.6) в качестве оценки выбрать траекторию координаты максимума плотно-
сти вероятности p(λ, t | x(t)), то оценка
)(
ˆ
tλ будет наилучшим образом совпадать с передаваемым сообщением
λ(t), т.е. критерии оптимальности (7.6) и (7.7) приводят к одной и той же оценке.
При этом оптимальной оценкой является апостериорное математическое ожидание
[
]
∫
λ
λλλ=λ
)(
)(|,)(
ˆ
dtxtpt . (7.8)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 42
- 43
- 44
- 45
- 46
- …
- следующая ›
- последняя »
