Основы радиоэлектроники и связи. Часть I. Основы оптимального радиоприёма. Карпов И.Г - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

| λ). Плотность вероятности p(λ, t) фильтруемого процесса λ(t), удовлетворяющего уравнению сообщения (7.2),
определяется из (7.17). Условная плотность вероятности p(x(t) | λ) (функция правдоподобия) легко находится из
уравнения наблюдения. Так как сигнал s(t, λ(t)) является известной функцией аргументов t и λ, а шум n(t) имеет
гауссовское распределение, то и p(x(t) | λ) также будет гауссовской.
В работах Р.Л. Стратоновича показано, что апостериорная плотность вероятности p(λ, t | x(t)) параметра
λ(t) в конечный момент времени наблюдения определяется следующим дифференциальным уравнением
{}
[]
))(|(),(),())(|())(|( txptFtFtxpLtxp
t
λλ−λ+λ=λ
∂
∂
, (7.18)
где F(t, λ) – производная по времени от логарифма функции правдоподобия
)|)((ln),( λ=λ txp
dt
d
tF , (7.19)
〈 F(t, λ) 〉 – усреднение F(t, λ) по информационному параметру λ
λλλ=λ
∫
λ
dtxptFtF ))(|(),(),(
)(
. (7.20)
Начальные условия для уравнения Стратоновича (7.18) определяются априорной плотностью вероятности
p(λ, 0) начальной координаты сообщения λ(0) = λ
0
.
Апостериорная плотность вероятности p(λ, t | x(t)) содержит всю доступную информацию о параметре λ(t),
которую можно извлечь из наблюдения реализации x(t) процесса ξ(t) на интервале [0, t] и из априорных сведе-
ний о λ(t). Определив апостериорную плотность p(λ, t | x(t)), можно получить другие требуемые характеристи-
ки, например, математическое ожидание λ(t), представляющее оптимальную оценку сообщения по критерию
минимума среднего квадрата ошибки или оценку, оптимальную по критерию максимума апостериорной плот-
ности вероятности.
Таким образом, уравнение Стратоновича (7.18) определяет полную процедуру фильтрации сообщения λ(t)
на фоне белого шума. В общем случае аналитическое решение этого уравнения оказывается трудной задачей,
схемы оптимального фильтра при этом весьма сложны. Для получения более простых схем целесообразно ис-
пользовать различные упрощающие предположения.
8. ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ СООБЩЕНИЙ
8.1. ОПТИМАЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ АНАЛОГОВАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ. ФИЛЬТР КАЛМАНА
Рассмотрим случай линейной аналоговой фильтрации, когда наблюдаемый процесс на входе фильтра задан
уравнением
ξ(t) = H(t) λ(t) + n(t), 0 ≤ t ≤ T, (8.1)
а сообщение λ(t) – уравнением
)()(
)(
tnt
d
t
td
λ
+αλ−=
λ
; (8.2)
здесь H(t) – известная функция (несущее колебание); H(t) λ(t) = s[t, λ(t)] – передаваемый сигнал; n(t) – белый
гауссовский шум (не обязательно стационарный) с нулевым средним значением и односторонней спектральной
плотностью N
0
; α – постоянный коэффициент, определяющий ширину спектра сообщения λ(t).
Если сообщение λ(t) рассматривают, как результат прохождения
формирующего стационарного белого шума n
λ
(t) через интегрирующую цепочку RC, то коэффициент α =
1/(RC).
При линейной фильтрации гауссовских процессов, каким является рассматриваемое сообщение λ(t), апо-
стериорная плотность вероятности p[λ | ξ(t)] представляется гауссовским законом. Параметрами такой плотно-
сти вероятности служат математическое ожидание
(
)
tλ
ˆ
и дисперсия R(t). Подставляя гауссовскую плотность
вероятности в уравнение Стратоновича, можно прийти к следующей системе уравнений:

Страницы