Составители:
44 45
Функцию
),( yxW
kn
на конечном элементе
k
e
можно представить
в виде
¦
M
12
1
),(),(
i
iikn
yxqyxW
,
k
eyx ),(
, (96)
а на остальных элементах она берется равной нулю.
Полученные выражения для функций прогиба обеспечивают непре-
рывность прогибов
W
и их первых производных по x и у между узлами
по линии контакта конечных элементов.
Так как аппроксимация
),( yxW
kn
на каждом конечном элементе
k
e
(96)
записана в местной системе координат
yx0
, то необходимо осуществить
переход к общей системе координат X0Y (в данном случае нужно осуще-
ствить только параллельный перенос осей координат).
На всей области, занимаемой пластиной, функция прогиба
),( y
x
W
представляется в виде
¦
n
k
knn
YXWYXW
1
),(),(
.
Теперь к функционалу полной энергии деформации жесткой плас-
тины
dXdYW
D
q
Y
W
X
W
YX
W
W
D
kn
knkn
n
k
k
V
kn
kn
¿
¾
½
»
»
¼
º
w
w
w
w
°
¯
°
®
«
«
¬
ª
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
ww
w
P
¦
³³
2
)1(2
2
Э
2
2
2
2
1
2
2
2
2
(
k
V
– область, занимаемая конечным элементом
k
e
) применим методод
Ритца и получим систему алгебраических уравнений (в данном случае
линейную) относительно неизвестных узловых перемещений каждого
конечного элемента. Эта система будет разрежена, так как функция
kn
W
на всех элементах, кроме
k
e
, равна нулю, поэтому, кроме метода Гаусса,
можно для ее решения использовать метод прогонки.
Как видим, МКЭ совпадает с методом Ритца при дискретной
аппроксимации неизвестных функций.
11. МЕТОД НАИСКОРЕЙШЕГО СПУСКА
Суть метода наискорейшего спуска состоит в указанном далее.
Пусть
1111
,, zyxM
– некоторая точка существования функции
zyxf ,,
, минимум которой требуется найти.
Градиентом этой функции в точке
1
M
является вектор с проекция-
ми на оси координат в виде частных производных, вычисляемых в точке
1
M
,
111
,, M
z
f
M
y
f
M
x
f
w
w
w
w
w
w
.
Этот вектор указывает направление максимального роста функции
zyxf ,,
в точке
1
M
. Луч с началом в точке е
1
M
, целиком лежащий
в области существования функции
zyxf ,,
и направленный противопо-
ложно вектору-градиенту, имеет следующие координаты точек:
,,,
111111
M
z
f
tzzM
y
f
tyyM
x
f
txx
w
w
w
w
w
w
где
0tt
.
Функция
zyxf ,,
в точках этого луча будет сложной функцией
одного аргумента
t
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
w
w
w
w
w
w
M
111111
,,)( M
z
f
tzM
y
f
tyM
x
f
txft
. (97)
Чтобы найти минимум этой функции, нужно получить корни урав-
нения
0)( M
c
t
. Если
1
t
– один из этих корней, можно перейти от точки
1
M
к точке
2
M
с координатами
.,,
111211121112
M
z
f
tzzM
y
f
tyyM
x
f
txx
w
w
w
w
w
w
(98)
Далее за исходную принимают точку
2
M
и аналогично находят точ-
ку
3
M
, затем
n
MMM ,...,,
54
. При достаточно большом м
n
точка
n
M
бу-у-
дет близка к точке искомого минимума функции
zyxf ,,
. Сходимость
метода зависит от того, насколько близко к минимуму функции
zyxf ,,
выбрана точка
1
M
.
Пусть дан функционал полной энергии деформации оболочки
.,,,,Э
yx
WVU \\
Раскладываем неизвестные функции в ряд по неизвестным число-
вым параметрам и известным аппроксимирующим функциям. Подста-
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- …
- следующая ›
- последняя »
