Вариационные методы и вариационные принципы механики при расчете строительных конструкций. Карпов В.В - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

46 47
вив эти разложения в функционал и вычислив интегралы от известных
функций, сведем его к функции неизвестных числовых параметров. Вы-
бираем начальное приближение и уточняем его с помощью метода наи-
скорейшего спуска.
Рассмотрим функционал полной энергии деформации пластины,
допускающей малые прогибы, находящейся под действием поперечной
нагрузки
q
и шарнирно-неподвижно закрепленной по контуру
,,
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
w
w
w
w
w
w
«
«
¬
ª
P
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
w
w
³³
2
2
2
2
2
2
2
00
2
2
2
2
2
)(Э
y
W
y
W
x
W
x
WD
W
ab
,24
2
2
1
dxdyw
D
q
yx
W
»
»
¼
º
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
ww
w
P
(99)
где
2
1
;
112
1
2
3
P
P
P
Eh
D
.
Подставим
),( yxW
в виде
¦¦
|
N
j
N
i
ijijN
yYxXWyxWyxW
11
,
)(3)(3),(),(
. (100)
Подставив (100) в (99) и выполнив интегрирование от известных
функций, приведем функционал (99) к виду
¦¦¦ ¦¦¦
N
j
N
i
N
n
N
j
N
i
ijij
N
m
mnijmnijN
WcpqCWWW
11 1 11
,,
1
,,,,,
)(Э
. (101)
Для нахождения минимума функции (101) применим метод наиско-
рейшего спуска. Выберем начальное приближение
ij
W
0,0
. Находим зна-
чения
kl
W
,
Э
w
w
в точке
ij
W
0,0
(
N
k
N
l
,...
,
2,1;,...
,
2,1
).
В функцию (101) вместо
ij
W
,
подставляем
)(
Э
0,0
,
0,0 ij
ij
ij
W
W
tW
w
w
,
после чего она превращается в функцию одной переменной
)(tM
. Решив
уравнение
0)( M
c
t
, найдем
0
t
. Следующее приближение находим по
формуле
)(
Э
0,0
,
00,01,1 ij
ij
ijij
W
W
tWW
w
w
(102)
.),...
,
2,1;,...
,
2,1(
N
i
N
j
Повторяя эту процедуру, найдем
ij
W
2,2
и т. д.
При одночленной аппроксимации прогиба (94)
yxWyxW SS| sinsin),(
1,1
(103)
и принятых параметрах
4
103;3,0;1 P Eba
МПа;
2
103
q
МПа;
0
1
,0 h
м (при этом м
2
1027,0
D м
3
)
получим
1
1
1
2
1
)(Э WcpqCWW
.
За начальное приближение возьмем
0
0,0
ij
W
.
Далее находим

.10216,12
Э
2
1101,0101,01
1,1
w
w
cpqcWW
W
Найдем
0
t
из условия
.0)(
Э
)(
Э
)(
Э
2
01,01
11
01,01
11
01,01
1,1
01,0111
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
w
w
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
w
w
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
w
w
W
W
cpq
W
W
W
W
tWC
В результате получим
8,3
0
t
.
Теперь можно найти следующее приближение
0462,0)(
Э
01,01
1,1
001,0111,11
w
w
W
W
tWW
.
Решение уравнения
0)( M
c
t
может вызывать затруднения, тогда
применяют приближенные методы оценки корней этого уравнения.

Страницы