Вариационные методы и вариационные принципы механики при расчете строительных конструкций. Карпов В.В - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

48 49
12. МЕТОД ВАРИАЦИОННЫХ ПРЕДЕЛЬНЫХ
ПРЕОБРАЗОВАНИЙ В ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК,
ИМЕЮЩИХ НЕРЕГУЛЯРНОСТИ
В задачах расчета оболочечных конструкций, имеющих нерегуляр-
ности (узкие ребра жесткости, изломы срединной поверхности), для обо-
значения мест дискретного изменения параметров применяются дельта-
функции [10, 13, 30, 31, 32, 41].
Однако дельта-функции – это предельные функции, которые сами
по себе не имеют даже графического изображения.
Для получения корректной математической
модели деформирова-
ния таких оболочек необходим предельный переход от ступенчатого из-
менения параметров к заданию их изменения с помощью дельта-функ-
ций. Такой переход можно осуществить с помощью метода вариацион-
ных предельных преобразований [21].
Суть метода вариационных предельных преобразований (МВПП)
состоит в том, что наличие нерегулярных участков (толщины, кривизны)
задается с
помощью единичных столбчатых функций (разности двух еди-
ничных функций), затем, до преобразования вариационного уравнения,
вся область, занимаемая оболочкой, разбивается на участки с постоян-
ными значениями параметров, а после преобразования вариационного
уравнения (в результате которого под знаком интеграла не будет членов,
содержащих вариации от производных искомых функций) получаются
уравнения равновесия (движения), краевые условия
на контуре оболоч-
ки (и начальные условия для задач динамики) и краевые условия по ли-
ниям ступенчатого изменения параметров.
После этого, используя краевые условия по линиям ступенчатого
изменения параметров, предельным переходом от единичных столбча-
тых функций к дельта-функциям можно получить соответствующие со-
отношения упругости, вид функционала полной энергии деформации
и
уравнения равновесия (движения).
Рассмотрим этот метод на примере получения соотношений упру-
гости, функционала полной энергии деформации конструкции и уравне-
ний равновесия для пологих оболочек, подкрепленных узкими ребрами
и имеющих изломы срединной поверхности. Для простоты будем рас-
сматривать линейные упругие задачи и модель Кирхгофа – Лява.
Функционал полной энергии деформации пологой оболочки, нахо-
дящейся под действием поперечной статической нагрузки
),( yxq
, имеет
вид
³³
FJHH
ab
xxyxyyyxx
MNNN
00
1
2
1
Э
.22
122
dxdyqWMM
xyy
FF
(104)
Здесь
Wk
x
U
xx
w
w
H ; Wk
y
V
yy
w
w
H ;
x
V
y
U
xy
w
w
w
w
J
; U, V, W –
перемещения точек срединной (координатной) поверхности вдоль осей
zyx ,,
соответственно;
21
1
;
1
R
k
R
k
yx
– главные кривизны оболочки
вдоль осей
yx,
;
ba,
– линейные размеры оболочки вдоль осей
yx,
.
Пусть оболочка толщиной h со стороны вогнутости подкреплена
перекрестной системой ребер, параллельных осям координат (рис. 5).
Рис. 5. Оболочка ступенчато-переменной толщины

Страницы