Бесконечные ряды. Картечина Н.В - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

10
Теорема 5. Признак Коши.
Пусть дан ряд
∑
∞
=1n
n
a
с неотрицательными членами. Допустим, что
n
n
n
a
lim
∞→
существует и
n
n
n
a
lim
∞→
=q.
Тогда:
1. если q<1, то ряд сходится;
2. если q>1, то ряд расходится;
3. если q=1, то вопрос о сходимости ряда остается нерешенным.
Теорема 6. Интегральный признак.
Пусть дан ряд
∑
∞
=1n
n
a
с положительными членами, причем
a
1
> a
2
> a
3
>…> a
n
>…
и f(x) – такая непрерывная, монотонно убывающая функция, что
f(n)=a
n
.
Тогда данный ряд и несобственный интеграл
∫
∞
+
1
dx)x(f
одновременно
сходятся или расходятся.
Теорема 7. Признак Раабе.
Пусть дан ряд
∑
∞
=
1
n
n
a
с положительными членами. Допустим, что
)1
a
(nlim
1
n
n
n
a
−
∞→
существует и
)1
a
(nlim
1
n
n
n
a
−
+
∞→
=р.
Тогда:
1. если p<1, то ряд сходится;
2. если p>1, то ряд расходится;
3. если p=1, то вопрос о сходимости ряда остается нерешенным.
Теорема 8. Признак Гаусса.
Пусть для ряд
∑
∞
=
1
n
n
a
с положительными членами
.
nc...ncn
nb...nbn
a
a
m
1m
1
m
m
1m
1
m
n
1n
+++
+++
=
−
+
Тогда:
1. если с
1
-b
1
>1, то ряд сходится;
2. если с
1
-b
1
≤1, то ряд расходится.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                Теорема 5. Признак Коши.
                                         ∞
                Пусть дан ряд            ∑ a n с неотрицательными членами. Допустим, что
                                       n =1
          lim
         n →∞
                n
                    a n существует и nlim
                                       →∞
                                          n
                                            a n =q.
                Тогда:
                  1. если q<1, то ряд сходится;
                  2. если q>1, то ряд расходится;
                  3. если q=1, то вопрос о сходимости ряда остается нерешенным.

                Теорема 6. Интегральный признак.
                              ∞
                Пусть дан ряд ∑ a с положительными членами, причем
                                         n
                                  n =1
                                       a1> a2> a3>…> an>…
                и f(x) – такая непрерывная, монотонно убывающая функция, что
                                                f(n)=an.
                                                                                      +∞
                Тогда данный ряд и несобственный интеграл ∫ f ( x )dx одновременно
                                                                                      1
         сходятся или расходятся.
             Теорема 7. Признак Раабе.
                                          ∞
                Пусть дан ряд ∑ a n с положительными членами. Допустим, что
                                         n =1

          lim n (    a n − 1) существует и lim n ( a n − 1) =р.
         n →∞       a n +1                        n →∞     a n +1
                Тогда:
                  1. если p<1, то ряд сходится;
                  2. если p>1, то ряд расходится;
                  3. если p=1, то вопрос о сходимости ряда остается нерешенным.

                Теорема 8. Признак Гаусса.
                                   ∞
                Пусть для ряд      ∑ a n с положительными членами
                                  n =1
                                              a n +1 n m + b1n m −1 + ... + b m n
                                                    = m                           .
                                               an    n + c1n m −1 + ... + c m n
                Тогда:
                  1. если с1-b1>1, то ряд сходится;
                  2. если с1-b1≤1, то ряд расходится.




                                                              10

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы