Бесконечные ряды. Картечина Н.В - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

9
№ 23.
∑
∞
=
1
n
n2
1
Cos
№ 24.
∑
∞
=
⋅
1
n
n
1
Sinn
№ 25.
n
1n
)
n
1
1(
∑
∞
=
+
№ 26.
∑
∞
=
−
1n
n
n
1
)1(
1
№ 27.
∑
=
−
1
n
1n2
1
№ 28.
∑
=
−
1
n
2
n
1n2
№ 29.
∑
∞
=
−
1
n
1n3
n
№ 30.
∑
=
−
1
n
n2
1n2
ИССЛЕДОВАНИЕ ЗНАКОПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЯДОВ
НА СХОДИМОСТЬ
Теорема 1. Первый признак сравнения.
Пусть даны два ряда с неотрицательными членами:
∑
∞
=
1
n
n
a
(1),
∑
∞
=
1
n
n
b
(2).
Если a
n
≤b
n
(n=1, 2, 3,…), то из сходимости ряда (2) следует сходи-
мость ряда (1); а из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).
Теорема 3. Второй признак сравнения.
Пусть даны два ряда с неотрицательными членами:
∑
∞
=1n
n
a
(1),
∑
∞
=1n
n
b
(2).
Если
0Alim
b
a
n
n
n
>=
∞→
, то ряды (1) и (2) одновременно сходятся или рас-
ходятся.
Теорема 4. Признак Даламбера.
Пусть дан ряд
∑
∞
=1n
n
a
с положительными членами. Допустим, что
n
1n
n
a
lim
a
+
∞→
существует и
n
1n
n
a
lim
a
+
∞→
=d.
Тогда:
1. если d<1, то ряд сходится;
2. если d>1, то ряд расходится;
3. если d=1, то вопрос о сходимости ряда остается нерешенным.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                   ∞         1                                            ∞   2n − 1
         № 23.     ∑ Cos                                        № 28.    ∑
                  n =1      2n                                             n2
                                                                         n =1
                   ∞                                                      ∞
         № 24. ∑ n ⋅ Sin 1                                      № 29. ∑
                                                                            n
                                                                      n =13n − 1
                  n =1          n
                   ∞
         № 25.              1 n                                        ∞ 2n − 1
                  ∑ (1 +      )                                 № 30. ∑
                  n =1      n
                                                                      n =1 2 n
                   ∞        1
         № 26.     ∑
                  n =1(1 − n )
                           1 n

                   ∞    1
         № 27.     ∑
                  n =12n − 1


                ИССЛЕДОВАНИЕ ЗНАКОПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЯДОВ
                            НА СХОДИМОСТЬ

                Теорема 1. Первый признак сравнения.
                Пусть даны два ряда с неотрицательными членами:
                                 ∞                                ∞
                                ∑ an                 (1),         ∑ bn                 (2).
                                n =1                             n =1
             Если an≤bn (n=1, 2, 3,…), то из сходимости ряда (2) следует сходи-
         мость ряда (1); а из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).
             Теорема 3. Второй признак сравнения.
             Пусть даны два ряда с неотрицательными членами:
                                ∞                                 ∞
                                ∑ an                 (1),         ∑ bn                 (2).
                             n =1                                n =1
                Если lim a n = A > 0 , то ряды (1) и (2) одновременно сходятся или рас-
                         n →∞   bn
         ходятся.
             Теорема 4. Признак Даламбера.
                                       ∞
                Пусть дан ряд          ∑ a n с положительными членами. Допустим, что
                                       n =1

          lim   a n +1   существует и lim a n +1 =d.
         n →∞    an                      n →∞   an

                Тогда:
                  1. если d<1, то ряд сходится;
                  2. если d>1, то ряд расходится;
                  3. если d=1, то вопрос о сходимости ряда остается нерешенным.


                                                            9

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы