Бесконечные ряды. Картечина Н.В - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

7
Решение
Можно заметить, что члены ряда – дроби, числитель каждой из кото-
рых равен единице (первый член тоже можно представить так: 1=
1
1
), а
знаменатель есть произведение нечетного числа 2n-1 на соответствующую
степень числа 2 (для первого члена это тоже верно:
0
2
1
1
1
⋅
=
). Далее, так
как члены ряда имеют чередующиеся знаки, нужно ввести множитель вида
(-1)
n-1
, чтобы получить искомую формулу
a
n
=
1n
1n
2)1n2(
1
)1(
−
−
⋅−
−
.
Пример 3. Найти формулу общего члена ряда
...
64
1
32
3
16
1
8
3
4
1
2
3
1+++++++
Решение
Каждый член ряда представляет собой дробь
n
n
n
q
p
а=
, числитель кото-
рой равен единице для членов с нечетными номерами и трем для членов с
четными номерами, а знаменатель – соответствующей степени числа 2.
Следовательно, числитель можно представить формулой p
n
=2+(-1)
n
, а зна-
менатель – формулой q
n
=2
n-1
, поэтому
1n
n
n
2
)1(2
a
−
−+
=
.
Пример 4. Исследовать на сходимость ряд
∑
∞
=
+
1n
1n
n
.
Решение
Общий член этого ряда выражается формулой
1
n
n
a
n
+
=
.
1
1
1
lim
1n
n
limalim
1
nn
n
n
=
+
=
+
=
∞→∞→∞→
,
т.е. общий член к нулю не стремится, то на основании следствия из необ-
ходимого признака заключаем, что данный ряд расходится.
ЗАДАЧИ
В № 1-10 написать первые пять членов ряда по заданному общему члену:
№ 1.
)1n2)(1n2(
1
a
n
+−
=
№ 2.
1n
n
3)1n2(
1
a
−
⋅−
=
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                                        Решение
              Можно заметить, что члены ряда – дроби, числитель каждой из кото-
                                                                                                   1
         рых равен единице (первый член тоже можно представить так: 1= ), а
                                                                                                   1
         знаменатель есть произведение нечетного числа 2n-1 на соответствующую
         степень числа 2 (для первого члена это тоже верно: 1 = 1 ). Далее, так
                                                                1⋅ 20
         как члены ряда имеют чередующиеся знаки, нужно ввести множитель вида
         (-1)n-1, чтобы получить искомую формулу
                                    an= (−1) n −1 1   .
                                                         (2n − 1) ⋅ 2 n −1
                Пример 3. Найти формулу общего члена ряда
                                            3 1 3 1 3 1
                                         1 + + + + + + + ...
                                            2 4 8 16 32 64

                                        Решение
              Каждый член ряда представляет собой дробь а = p n , числитель кото-
                                                         n
                                                                                          qn
         рой равен единице для членов с нечетными номерами и трем для членов с
         четными номерами, а знаменатель – соответствующей степени числа 2.
         Следовательно, числитель можно представить формулой pn=2+(-1)n, а зна-
         менатель – формулой qn=2n-1, поэтому
                                                     2 + (−1) n .
                                                an =
                                                       2 n −1
                                                        ∞
                Пример 4. Исследовать на сходимость ряд ∑ n .
                                                                             n =1n   +1

                                        Решение
              Общий член этого ряда выражается формулой a n = n .
                                                                                          n +1
                                                         n          1   ,
                                         lim a n = lim      = lim 1 = 1
                                         n →∞     n → ∞ n +1 n → ∞ 1+
                                                                      n
         т.е. общий член к нулю не стремится, то на основании следствия из необ-
         ходимого признака заключаем, что данный ряд расходится.

                                                  ЗАДАЧИ
          В № 1-10 написать первые пять членов ряда по заданному общему члену:

         № 1. a n =          1                                 № 2. a =                   1
                                                                                (2n − 1) ⋅ 3n −1
                                                                     n
                      (2n − 1)(2n + 1)


                                                         7

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы