Бесконечные ряды. Картечина Н.В - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

6
можно почленно складывать и вычитать, так что ряды
∑
∞
=
+
1n
nn
)ba(
,
∑
∞
=
−
1
n
nn
)ba(
сходятся и их суммы равны соответственно А+В, А-В, где А и
В – суммы исходных рядов.
Теорема 4. Необходимый признак сходимости ряда.
Если ряд
∑
∞
=1n
n
a
- сходится, то
0alim
n
n
=
∞→
.
Следствие. Если
0alim
n
n
≠
∞→
, то ряд расходится.
Замечание. В случае, когда
0alim
n
n
=
∞→
, исходный ряд может быть как
сходящимся, так и расходящимся.
Пример 1. Написать первые шесть членов ряда
1n2
1
)1(
1n
1n
−
−
∑
∞
=
−
.
Решение
Общий член ряда а
n=
1
n
2
1
)1(
1n
−
−
−
. Полагая в этой формуле
n=1, получим а
1
=
1
1
)1(
1
)1(
011
=−=
−
⋅
−
−
;
n=2, получим а
2
=
1
1
)1(
1
)1(
112
−=−=
−
⋅
−
−
;
n=3, получим а
3
=
5
1
5
1
)1(
1
3
2
1
)1(
213
=−=
−
⋅
−
−
;
n=4, получим а
4
=
1
1
)1(
1
)1(
314
−=−=
−
⋅
−
−
;
n=5, получим а
2
=
9
1
9
1
)1(
1
5
2
1
)1(
415
=−=
−
⋅
−
−
;
n=6, получим а
2
=
11
1
11
1
)1(
1
)1(
516
−=−=
−
⋅
−
−
.
Таким образом, данный ряд можно записать так:
...
1n2
1
)1(...
11
1
9
1
7
1
5
1
3
1
1
1n2
1
)1(
1n
1
n
1n
+
−
−++−+−+−=
−
−
−
∞
=
−
∑
Пример 2. Найти формулу общего члена ряда
...
16
9
1
8
7
1
4
5
1
2
3
1
1−
⋅
+
⋅
−
⋅
+
⋅
−
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                                                                                                 ∞
         можно почленно складывать и вычитать, так что ряды                                      ∑ (a n + b n ) ,
                                                                                                 n =1
          ∞
          ∑ (a n − b n )   сходятся и их суммы равны соответственно А+В, А-В, где А и
         n =1
         В – суммы исходных рядов.
              Теорема 4. Необходимый признак сходимости ряда.
                       ∞
              Если ряд ∑ a - сходится, то lim a n = 0 .
                                   n
                            n =1                       n →∞
                Следствие. Если lim a n ≠ 0 , то ряд расходится.
                                       n →∞
                Замечание. В случае, когда lim a n = 0 , исходный ряд может быть как
                                                     n →∞
         сходящимся, так и расходящимся.
                                                                                     ∞            1 .
                 Пример 1. Написать первые шесть членов ряда                      ∑ (−1) n −1
                                                                                 n =1           2n − 1

                                                      Решение
                                                      1
                Общий член ряда аn= (−1) n −1              . Полагая в этой формуле
                                                    2n − 1
                n=1, получим а1= (−1)1−1          1          1
                                                     = (−1) 0 = 1;
                                            2 ⋅1 − 1        1
                n=2, получим а2= ( −1) 2 −1     1            1  1
                                                     = (−1)1 = − ;
                                            2 ⋅ 2 −1         3  3
                n=3, получим а3= (−1)3 −1           1             1 1
                                                         = (−1) 2 = ;
                                                2 ⋅ 3 −1          5 5
                n=4, получим а4= (−1) 4 −1         1            1   1
                                                        = (−1) 3 = − ;
                                               2 ⋅ 4 −1          7     7
                n=5, получим а2= ( −1) 5 −1         1            1 1
                                                         = (−1) 4 = ;
                                                2 ⋅ 5 −1         9 9
                n=6, получим а2= (−1) 6 −1         1            1    1
                                                        = (−1) 5 = − .
                                               2 ⋅ 6 −1         11  11
                Таким образом, данный ряд можно записать так:
                 ∞             1         1 1 1 1            1                    1
                ∑ (−1) n −1 2n − 1 = 1 − 3 + 5 − 7 + 9 − 11 + ... + (−1) n −1 2n − 1 + ...
                n =1


                 Пример 2. Найти формулу общего члена ряда
                                       1     1     1      1
                                   1−      +     −     +      − ...
                                      3 ⋅ 2 5 ⋅ 4 7 ⋅ 8 9 ⋅16




                                                            6

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы