Бесконечные ряды. Картечина Н.В - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

5
Если же предел
n
n
Slim
∞→
не существует, то говорят, что ряд
∑
∞
=
1
i
n
a
рас-
ходится (и суммы не имеет).
Пример1. Ряд
a+aq+aq
2
+aq
3
+…+aq
n-1
+…,
составленный из членов геометрической прогрессии, сходится при |q|<1;
расходится при |q|>1.
Пример2. Ряд
1+
=++++ ...
n
1
...
3
1
2
1
∑
∞
=
1
n
n
1
называется гармоническим и является расходящимся.
Пример3. Ряд
1+
=++++ ...
n
1
...
3
1
2
1
ррр
∑
∞
=
n
р
n
1
называется обобщенным гармоническим (ряд Дирихле) и сходится
только при р>1, а при р≤1 ряд расходится.
Определение. Если в ряде
∑
∞
=
1
n
n
a
отбросить первые m членов, получится
ряд
∑
∞
+=1mk
k
a
=a
m+1
+a
m+2
+a
m+3
+…,
называемый остатком ряда после m-го члена.
НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ
Теорема 1. Если сходится ряд
∑
∞
=1n
n
a
, сходится и любой из его остат-
ков
∑
∞
+=
1
m
k
a
; из сходимости остатка вытекает сходимость исходного ряда.
Теорема 2. Если члены сходящегося ряда
∑
∞
=1n
n
a
умножить на один и тот
же множитель с, его сходимость не нарушится (а сумма лишь умножится
на с).
Теорема 3. Два сходящихся ряда
∑
∞
=
1
n
n
a
= a
1
+a
2
+…+a
n
+…
∑
∞
=1n
n
b
== b
1
+b
2
+…+b
n
+…
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                                                                                                 ∞
                Если же предел lim Sn не существует, то говорят, что ряд ∑ a рас-
                              n →∞                                          n
                                                                                                 i =1
         ходится (и суммы не имеет).
               Пример1. Ряд
                                  a+aq+aq2+aq3+…+aqn-1+…,
         составленный из членов геометрической прогрессии, сходится при |q|<1;
         расходится при |q|>1.
               Пример2. Ряд
                                     1 1       1         ∞
                                   1+ + + ... + + ... = ∑ 1
                                     2 3       n        n =1n
         называется гармоническим и является расходящимся.
               Пример3. Ряд
                                                         ∞ 1
                                 1+ 1 1        1
                                                  +         + ... +        + ... =   ∑       р
                                             2р        3р             nр             n =1n
         называется обобщенным гармоническим (ряд Дирихле) и сходится
         только при р>1, а при р≤1 ряд расходится.
                                                   ∞
                Определение. Если в ряде ∑ a n отбросить первые m членов, получится
                                                  n =1
         ряд
                                             ∞
                                             ∑ a k =am+1+am+2+am+3+…,
                                       k = m +1
                называемый остатком ряда после m-го члена.

                  НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ
                                             ∞
                Теорема 1. Если сходится ряд ∑ a , сходится и любой из его остат-
                                                n
                                                             n =1
                 ∞
         ков     ∑ a k ; из сходимости остатка вытекает сходимость исходного ряда.
               k = m +1
                                                                                ∞
                Теорема 2. Если члены сходящегося ряда ∑ a n умножить на один и тот
                                                                               n =1
         же множитель с, его сходимость не нарушится (а сумма лишь умножится
         на с).
              Теорема 3. Два сходящихся ряда
                                        ∞
                                       ∑ a n = a1+a2+…+an+…
                                       n =1
                                       ∞
                                      ∑ b n == b1+b2+…+bn+…
                                      n =1




                                                              5

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы