Бесконечные ряды. Картечина Н.В - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

4
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ РЯДОВ
Определение. Для бесконечной последовательности элементов u
1
, u
2
,
u
3
,…, u
n
можно составить выражение вида:
u
1
+u
2
+u
3
+…+ u
n
+…=
∑
∞
=
1
i
i
u, (1)
которое называют бесконечным рядом, где u
1
, u
2
, u
3
,…, u
n
- члены ряда; u
n
– n-ый или общий член ряда.
Если члены ряда (1):
• числа, то ряд называется числовым;
• числа одного знака, то ряд называется знакопостоянным;
• числа разных знаков, то ряд называется знакопеременным;
• положительные числа, то ряд называется знакоположитель-
ным;
• числа, знаки которых строго чередуются, то ряд называется
знакочередующимся;
• матрицы, то ряд называется матричным;
• функции, то ряд называется функциональным;
• степени х, то ряд называется степенным;
• тригонометрические функции, то ряд называется тригономет-
рическим (в том числе и ряд Фурье).
Ч И С Л О В Ы Е Р Я Д Ы
ЗНАКОПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ РЯДЫ
Пусть дан ряд
∑
∞
=
1
n
n
a= a
1
+a
2
+…+a
n
+… (2)
Определение. Выражение S
n
=a
1
+a
2
+…+a
n
называется n-ой частичной
суммой этого ряда.
Определение. Ряд (2) называется сходящимся, если существует и ко-
нечен предел n-ой частичной суммы этого ряда.
Определение. Если последовательность частичных сумм ряда (2) имеет
конечный предел
SSlim
n
n
=
∞→
,
то этот предел называют суммой ряда
∑
∞
=
1
n
n
a, пишут
∑
∞
=
1
n
n
a=S и говорят,
что ряд сходится.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                  ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ РЯДОВ
             Определение. Для бесконечной последовательности элементов u1, u2,
         u3,…, un можно составить выражение вида:
                                                      ∞
                             u1+u2+u3+…+ un+…= ∑ u i ,                       (1)
                                                      i =1
         которое называют бесконечным рядом, где u1, u2, u3,…, un - члены ряда; un
         – n-ый или общий член ряда.
              Если члены ряда (1):
               •     числа, то ряд называется числовым;
               •     числа одного знака, то ряд называется знакопостоянным;
               •     числа разных знаков, то ряд называется знакопеременным;
               •     положительные числа, то ряд называется знакоположитель-
         ным;
               •     числа, знаки которых строго чередуются, то ряд называется
         знакочередующимся;
               •     матрицы, то ряд называется матричным;
               •     функции, то ряд называется функциональным;
               •     степени х, то ряд называется степенным;
               •     тригонометрические функции, то ряд называется тригономет-
         рическим (в том числе и ряд Фурье).

                             ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
                           ЗНАКОПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ РЯДЫ
              Пусть дан ряд
                                 ∞
                                ∑ a n = a1+a2+…+an+…                     (2)
                                n =1
             Определение. Выражение Sn=a1+a2+…+an называется n-ой частичной
         суммой этого ряда.
             Определение. Ряд (2) называется сходящимся, если существует и ко-
         нечен предел n-ой частичной суммы этого ряда.
             Определение. Если последовательность частичных сумм ряда (2) имеет
         конечный предел
                                         lim Sn = S ,
                                              n →∞
                                                          ∞             ∞
          то этот предел называют суммой ряда           ∑ a n , пишут   ∑ a n =S и говорят,
                                                        n =1            n =1
         что ряд сходится.




                                                  4

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы