Бесконечные ряды. Картечина Н.В - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

11
Пример1. Исследовать на сходимость ряд
...
2
1
2
2
1
2
2
1
2
1
6
3
4
2
2
+
+
+
+
+
+
+
=
∑
∞
=
+
1
n
n2
n
21
2
.
Решение
Все члены данного ряда положительны, общий член a
n
=
n2
n
2
1
2
+
.
Сравним данный ряд с геометрической прогрессией
...
2
1
...
2
1
2
1
2
1
1
n32
++++++
, b
n
=
n
2
1
.
Так как
n2
n
2
1
2
+
≤
n2
n
2
2
=
n
2
1
(a
n
≤ b
n
, n=0, 1, 2, 3, …),
т.е. выполнено условие первого признака сравнения и ряд
∑
∞
=
n
2
1
схо-
дится (геометрическая прогрессия, для которой q=
2
1
<1), то на основании
первого признака сравнения заключаем, что исходный ряд также сходится.
Пример2. Исследовать на сходимость ряд
...
5
1
4
1
3
1
2
1
1 +++++
Решение
Сравним этот ряд с гармоническим рядом
1+
=++++ ...
n
1
...
3
1
2
1
∑
∞
=
n
1
,
который, как известно, расходится. Так как в данном случае
a
n
=
n
1
, b
n
=
n
1
(n=1, 2, 3, …) и
n
1
≥
n
1
,
таким образом, по первому признаку сравнения из расходимости гар-
монического ряда следует расходимость данного ряда.
Пример3. Исследовать на сходимость ряд
∑
∞
=
−
1
n
n
n3
1
.
Решение
Сравним данный ряд с геометрической прогрессией
∑
∞
=
1
n
n
3
1
.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                      Пример1. Исследовать на сходимость ряд
                                      2             22             23               ∞ 2n
                               1+              +              +              + ... ∑
                                                                                  =                .
                                    1+ 2   2
                                                   1+ 2   4
                                                                  1+ 2   6
                                                                                  n =11 + 2
                                                                                              2n


                                                          Решение
                 Все члены данного ряда положительны, общий член an=                                                   2n        .
                                                                                                                   1+ 2     2n

            Сравним данный ряд с геометрической прогрессией
                                  1 1    1         1             1
                               1 + + 2 + 3 + ... + n + ... , bn= n .
                                  2 2    2        2             2
                Так как
                            2 n ≤ 2 n = 1 (a ≤ b , n=0, 1, 2, 3, …),
                                                                       n      n
                            1 + 2 2n 2 2 n 2 n
                                                                      ∞ 1
              т.е. выполнено условие первого признака сравнения и ряд ∑    схо-
                                                                         n
                                                                                                               n =12
                                                          1
         дится (геометрическая прогрессия, для которой q= <1), то на основании
                                                          2
         первого признака сравнения заключаем, что исходный ряд также сходится.
                    Пример2. Исследовать на сходимость ряд
                                                          1    1    1    1
                                                   1+        +    +    +    + ...
                                                           2    3    4    5

                                         Решение
                 Сравним этот ряд с гармоническим рядом
                                                                          ∞ 1
                                               1+ 1 + 1 + ... + 1 + ... = ∑   ,
                                                  2 3           n                   n =1n
             который, как известно, расходится. Так как в данном случае
                                 an= 1 , bn= 1 (n=1, 2, 3, …) и
                                      n      n
                                             1 ≥1,
                                              n n
             таким образом, по первому признаку сравнения из расходимости гар-
         монического ряда следует расходимость данного ряда.
                                                                ∞
                    Пример3. Исследовать на сходимость ряд ∑ 1 .
                                                               n =13 − n
                                                                    n


                                                          Решение
                                                              ∞
              Сравним данный ряд с геометрической прогрессией ∑ 1 .
                                                                n
                                                                                                       n =13




                                                                  11

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы