Бесконечные ряды. Картечина Н.В - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

13
Решение
Применим признак Даламбера. Общий член данного ряда a
n
=
n
2
n
, то-
гда a
n+1
=
1n
2
1n
+
+
и
1
2
1
n2
2)1n(
lim
a
a
lim
1n
n
n
n
1n
n
<=
⋅
⋅+
=
+
∞→
+
∞→
.
Ответ: ряд сходится.
Пример 6. Доказать сходимость ряда
...
2
4
2
3
2
2
2
1
432
++++
Решение
Общий член ряда определяется формулой а
n
=
n
2
n
. Заменяя в этой
формуле n на n+1, получаем последующий член а
n+1
=
1n
2
1n
+
+
. Найдем пре-
дел
1
2
1
1
2
1
n
1
1lim
2
1
n2
1n
lim
n2
21n
lim
a
a
lim
nn
1n
n
n
n
1n
n
<=⋅=+=
+
=
⋅
⋅+
=
∞→∞→
+
∞→
+
∞→
.
Следовательно, по признаку Даламбера заключаем, что ряд сходится.
Пример 7. Доказать расходимость ряда
∑
∞
=1n
5
n
n
5
.
Решение
Применим признак Даламбера. Поскольку а
n
=
5
n
n
5
; а
n+1
=
5
1n
)1n(
5
+
+
;
=
+
=
+
⋅
=
⋅+
⋅
=
∞→∞→
∞→
+
∞→
5
n
5
5
n
n5
51n
n
n
1n
n
)
1n
n
(lim5
)1n(
n5
lim
5)1n(
n5
lim
a
a
lim
515
n
1
1
1
lim5
5
n
=⋅=
+
=
∞→
>1,
ряд расходится.
Пример 8. Доказать сходимость ряда
∑
∞
=
−
1n
!n
1n2
.
Решение
Поскольку а
n
=
!
n
1n2
−
; а
n+1
=
)!1n(
1n2
)!1n(
1)1n(2
+
+
=
+
−
+
;
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                                                Решение
                                                                                                n
               Применим признак Даламбера. Общий член данного ряда an=                                  , то-
                                                                                                    n
                                                                                                2
                     n +1
                       и lim a n +1 = lim (n + 1) ⋅ 2 = 1 < 1 .
                                                          n
         гда an+1=
                      n +1
                         n →∞ a n    n → ∞ 2 n +1 ⋅ n   2
                  2
         Ответ: ряд сходится.
                     Пример 6. Доказать сходимость ряда 1 + 2 + 3 + 4 + ...
                                                              2 2 2 23 2 4
                                           Решение
                                                                   n
             Общий член ряда определяется формулой аn=               . Заменяя в этой
                                                                   n
                                                                 2
         формуле n на n+1, получаем последующий член аn+1= n + 1 . Найдем пре-
                                                                              2 n +1
                     a n +1         n + 1 ⋅ 2n       n +1 1       1 1      1
         дел     lim        = lim n +1         = lim     = lim 1 + = ⋅1 = < 1.
                n →∞ a n      n →∞ 2    ⋅ n n →∞ 2 n      2 n →∞  n 2      2
         Следовательно, по признаку Даламбера заключаем, что ряд сходится.
                                                                        ∞   5n .
                       Пример 7. Доказать расходимость ряда             ∑ 5
                                                                        n =1n


                                                Решение
                                                                        n
               Применим признак Даламбера. Поскольку аn= 5 ; аn+1= 5n +1 ;
                                                                       n5          ( n + 1) 5
                       a n +1           5 n +1 ⋅ n 5             5⋅ n5              n 5
                     lim      = lim                    =  lim             = 5 lim (   ) =
                   n →∞ a n     n → ∞ ( n + 1) 5 ⋅ 5 n   n → ∞ ( n + 1) 5     n→∞ n +1
                                                      5
                                                  
                                                1 
                                       = 5 lim     = 5 ⋅ 1 = 5 >1,
                                          n → ∞  1
                                               1+ 
                                                n
               ряд расходится.
                                                                    ∞  2n − 1
                       Пример 8. Доказать сходимость ряда           ∑         .
                                                                   n =1 n!
                                             Решение
                             2n − 1
               Поскольку аn=        ; аn+1= 2(n + 1) − 1 = 2n + 1 ;
                               n!             (n + 1)!     ( n + 1)!




                                                    13

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы