Бесконечные ряды. Картечина Н.В - 12 стр.

              В данном случае an=
                                                    1
                                                   , bn= 1 .
                                            3n − n      3n
              Так как lim a n = lim (                    1       1                       3n            1 =1, то есть по
                                                             :     ) = lim                     = lim
                           n→∞ bn        n→∞        3 −n 3
                                                     n           n        n → ∞ 3n        − n n → ∞ 1 − nn
                                                                                                               3
         второму признаку сравнения из сходимости геометрической прогрессии
         (знаменатель которой q= 1 ) следует сходимость данного ряда.
                                            3
                                                              ∞
                       Пример3. Исследовать на сходимость ряд ∑ 1 .
                                                                                                     n =1n ⋅
                                                                n
                                                                                                                   n
                                                                 Решение.
                                                                                                                        ∞   1
              Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом                                                    ∑ n . По-
                                                                                                                       n =1

         скольку lim
                        an           1  1         n            1
                           = lim ( n : ) = lim         =  lim     = 1,
                    n→∞ bn   n →∞ n ⋅ n n n →∞ n ⋅ n n   n →∞ n n

         ( lim n n = 1 , применено правило Лопиталя к функции ln n n = ln n ), то
          n →∞                                                          n
         есть по второму признаку сравнения из расходимости гармонического ряда
         следует расходимость данного ряда.

                                                          ∞
                       Пример 4. Доказать сходимость ряда ∑                                           1      .
                                                                                              n =1(3n − 1)3n

                                       Решение
         Преобразуем формулу для общего члена ряда
         an=   1         1           1       1     1                                             .
                           =                    =                     =            ⋅
              (3n − 1)3n                  1               1           9n   2          1 
                               (3n ) 2 1 −        9n 2 1 −                         1 − 
                                        3n              3n                          3n 
                                                           ∞          ∞    1
         Рассмотрим ряд с общим членом bn=          . Ряд ∑ 1 = 1 ∑ 1 является
                                               9n 2       n =19n
                                                                 2 9 n =1n 2
         рядом Дирихле и, так как р=2>1, сходится.
                                                                       
         Поскольку      a           1                        1      1            1       , то по второму
                    lim n = lim  2                     ⋅          : 2  = lim          =1
                   n →∞ bn  n → ∞  9n                         1  9n  n → ∞      1
                                                        1 −               1− 
                                                           3n                 3n 
         признаку сравнения исходный ряд также сходится.

                       Пример 5. Исследовать на сходимость ряд
                                       1 2     3        n
                                        + 2 + 3 + ... + n + ...
                                       2 2    2        2


                                                                     12

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com