Бесконечные ряды. Картечина Н.В - 14 стр.

                   a n +1             (2n + 1)n!                2n + 1
                lim       = lim                     = lim
               n →∞ a n     n → ∞ ( n + 1)!( 2n − 1) n → ∞ ( n + 1)( 2n − 1)

                           2n + 1
               = lim           = 0 <1
                        + n −1
                 n → ∞ 2n 2
               Согласно признаку Даламбера, ряд сходится.
                     Пример 9. Доказать сходимость ряда
                                                           1           1           1           1
                                                      1+       2
                                                                   +       3
                                                                               +       4
                                                                                           +       5
                                                                                                       + ...
                                                           2           3           4           5

                                                               Решение
                                                                                                                 1
               Применим признак Коши. В данном случае аn=                                                             ,
                                                                                                                  n
                                                                   n
                                  = lim = 0 , то есть q=0<1, поэтому ряд сходится.
                                1      1
          lim n а n   = lim n
         n→∞           n →∞     nn    n →∞ n
                                                             ∞
                         Пример 10. Доказать сходимость ряда ∑ n n ⋅ Sin n 1 .
                                                                                                               n →1             2n
                                                               Решение
                                                                                                                                 1
               Применим признак Коши. В данном случае аn= n n ⋅ Sin n                                                              ,
                                                                                                                                2n
                                                                                                                              1
                                                                                                                          Sin
                                                                    1                1                                       2n =
                          lim n a n = lim n n         ⋅ Sin n         = lim n ⋅ Sin    = lim
                                                  n
                          n →∞             n →∞                    2n n → ∞         2n n →∞                                 1
                                                                                                                            n
                                         1
                                     Sin
                               1        2n = 1 < 1
                          lim 2 ⋅      1     2
                          n →∞
                                      2n
         Ряд сходится.
                    Пример 11. Исследовать, сходится или расходится ряд
                                      1 1 1 1
                                   1 + + + + + ... .
                                                        3 5                7       9

                                                Решение
               аn= 1 ; аn+1=         1           1 .
                                            =
                    2n − 1      2(n + 1) − 1 2n + 1
               Составляем отношение последующего члена к предыдущему:
               a n +1      1     1     2n − 1 .
                      =       :      =
                an      2n + 1 2n − 1 2n + 1
                           a n +1        (2n − 1)
               Поскольку lim      = lim            = 1, вопрос о сходимости ряда с
                       n →∞ a n    n → ∞ ( 2n + 1)
         помощью признака Даламбера решить нельзя.


                                                                       14

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com