Бесконечные ряды. Картечина Н.В - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

15
Применим признак Гаусса. Находим
2
1
2
1
n
1n
n
n
1n2
1n2
a
a
+
−
=
+
−
=
+
. В данном слу-
чае m=1, b
1
=
2
1
−
, c
1
=
2
1
. Так как c
1
- b
1
=1, ряд сходится.
Пример 12. С помощью интегрального признака доказать схо-
димость ряда
∑
∞
=
+
1n
2
1n
1
.
Решение
Общий член данного ряда определяется формулой
a
n
=f(n)=
1
n
1
2
+
(n=0, 1, 2, 3, …).
Записывая в этой формуле х вместо n, получаем функцию f(х)=
1
х
1
2
+
.
Эта функция удовлетворяет условиям интегрального признака: она прини-
мает положительные значения и убывает с возрастанием х.
Докажем сходимость несобственного интеграла для данного случая:
∫
∞
+
1
2
1х
dx
=
()
442
1arctgarctgb
1
arctgx
lim
b
πππ
=−=−=
∞→
.
Так как интеграл сходится, то сходится и соответствующий ряд.
Пример 13. С помощью интегрального признака доказать схо-
димость ряда
∑
∞
=
⋅
2
n
nlnn
1
.
Решение
Общий член данного ряда определяется формулой а
n
=
n
ln
n
1
⋅
(n≥2).
Обратим внимание на то, что суммирование начинается с n=2 (при n=1 со-
ответствующий член ряда не определен, так как в знаменателе содержится
множитель ln1=0). Из формулы для общего члена ряда находим функцию
f(x)=
х
ln
х
1
⋅
(x≥2).
Получаем
=
⋅
∫
∞
2
lnxx
dx
ln(lnx)
∞=
∞
2
.
Так как интеграл расходится, то расходится и данный ряд.
ЗАДАЧИ
В № 31-40 исследовать ряд на сходимость, применив первый или второй
признак сравнения:
№ 31.
∑
∞
=
+
1
n
n2
n
31
3
.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
              Применим признак Гаусса. Находим a n +1 = 2n − 1 = n − 2 . В данном слу-
                                                                                    1

                                                                  an   2n + 1   n + 12
         чае m=1, b1= − 1 , c1= 1 . Так как c1- b1=1, ряд сходится.
                         2           2
                    Пример 12. С помощью интегрального признака доказать схо-
                      ∞  1 .
         димость ряда    ∑
                         n =1n
                                 2
                                     +1
                                        Решение
              Общий член данного ряда определяется формулой
                               an=f(n)= 1 (n=0, 1, 2, 3, …).
                                                    n2 +1
              Записывая в этой формуле х вместо n, получаем функцию f(х)= 1 .
                                                                                                 х 2 +1
         Эта функция удовлетворяет условиям интегрального признака: она прини-
         мает положительные значения и убывает с возрастанием х.
             Докажем сходимость несобственного интеграла для данного случая:
             ∞
                dx =      ∞                    π π π.
               ∫        arctgx        = lim (arctgb − arctg1) =   −    =
              1 х +1
                 2          1 b→∞                  2 4 4
              Так как интеграл сходится, то сходится и соответствующий ряд.
                     Пример 13. С помощью интегрального признака доказать схо-
                          ∞          1
         димость ряда    ∑ n ⋅ ln n .
                         n=2
                                      Решение
              Общий член данного ряда определяется формулой аn=                              1    (n≥2).
                                                                                         n ⋅ ln n
         Обратим внимание на то, что суммирование начинается с n=2 (при n=1 со-
         ответствующий член ряда не определен, так как в знаменателе содержится
         множитель ln1=0). Из формулы для общего члена ряда находим функцию
         f(x)= 1 (x≥2).
              х ⋅ ln х
                          ∞
              Получаем ∫ dx = ln(lnx) ∞ = ∞ .
                        2 x ⋅ lnx      2
              Так как интеграл расходится, то расходится и данный ряд.

                                                   ЗАДАЧИ
         В № 31-40 исследовать ряд на сходимость, применив первый или второй
         признак сравнения:
                ∞     3n .
         № 31. ∑
               n =11 + 3
                         2n




                                                         15

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы