Бесконечные ряды. Картечина Н.В - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

18
№ 79.
∑
∞
=
−++++
−++++
1
n
)1n4)...(34)(24)(14(4
)1n2)...(32)(22)(12(2
.
№ 80.
∑
∞
=
−++++
−++++
1n
)1nb)...(3b)(2b)(1b(b
)1na)...(3a)(2a)(1a(a
, a>0, b>0.
ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ
Определение. Ряд, содержащий как положительные, так и отрицатель-
ные члены, называется знакопеременным.
Определение. Знакопеременный ряд
...a...aaa
n21
1
n
n
++++=
∑
∞
=
(1)
называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из
абсолютных величин его членов, т. е.
...a...aaa
n21
1
n
n
++++=
∑
∞
=
(2)
Если ряд (1) сходится, а ряд (2) расходится, то ряд (1) называется ус-
ловно (неабсолютно) сходящимся.
Теорема Римана.
Сумму условно сходящегося ряда путем перестановки его членов
можно сделать равной любому данному числу.
Определение. Ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные
знаки, называется знакочередующимся.
Теорема. Признак Лейбница.
Знакочередующийся ряд
...a)1(...aaaaaa)1(
n
1n
54321
1
n
n
1n
+−+−+−+−=−
+
∞
=
+
∑
, (а
n
>0) (3)
сходится, если выполнены условия:
1.
...aaaaa
54321
≥
≥
≥
≥
≥
;
2.
n
n
alim
∞→
=0.
Теорема. Признак Дирихле.
Знакопеременный ряд
∑
∞
=1n
nn
ba
сходится, если:
1. частичные суммы В
k
=
∑
=
k
1
n
n
b
ограничены, т. е. |B
k
|≤c (n=1, 2,…);
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                                          ∞   2(2 + 1)(2 + 2)(2 + 3)...(2 + n − 1)
                                № 79.     ∑ 4(4 + 1)(4 + 2)(4 + 3)...(4 + n − 1) .
                                         n =1
                                          ∞ a (a + 1)(a + 2)(a + 3)...( a + n − 1)
                                № 80.     ∑                                            , a>0, b>0.
                                         n =1b ( b + 1)(b + 2)(b + 3)...( b + n − 1)


                                   ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ
             Определение. Ряд, содержащий как положительные, так и отрицатель-
         ные члены, называется знакопеременным.
             Определение. Знакопеременный ряд
                 ∞
                ∑an     = a 1 + a 2 + ... + a n + ...                                  (1)
                n =1
         называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из
         абсолютных величин его членов, т. е.
                 ∞
                ∑ a n = a1 + a 2 + ... + a n + ...                                           (2)
                n =1
             Если ряд (1) сходится, а ряд (2) расходится, то ряд (1) называется ус-
         ловно (неабсолютно) сходящимся.
             Теорема Римана.
             Сумму условно сходящегося ряда путем перестановки его членов
         можно сделать равной любому данному числу.
             Определение. Ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные
         знаки, называется знакочередующимся.

                Теорема. Признак Лейбница.
                Знакочередующийся ряд
          ∞
          ∑ (−1) n +1 a n = a1 − a 2 + a 3 − a 4 + a 5 − ... + (−1) n +1 a n + ... , (аn>0)          (3)
         n =1
         сходится, если выполнены условия:
            1. a 1 ≥ a 2 ≥ a 3 ≥ a 4 ≥ a 5 ≥ ... ;
            2. lim a n =0.
                 n →∞

                Теорема. Признак Дирихле.
                Знакопеременный ряд
                                                         ∞
                                                        ∑ a nbn
                                                        n =1
                сходится, если:
                                                  k
              1. частичные суммы Вk= ∑ b n ограничены, т. е. |Bk|≤c (n=1, 2,…);
                                                n =1



                                                             18

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы