Бесконечные ряды. Картечина Н.В - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

20
...
n
)1(
...
4
1
3
1
2
1
1
1n
+
−
++−+−
+
Решение
Ряд, составленный из абсолютных величин членов исходного ряда, т.
е. ряд
∑
∞
=
1
n
n
1
расходится (ряд Дирихле, р=
2
1
≤1). Поэтому о сходимости
исходного ряда пока ничего сказать нельзя. Применим к данному знакоче-
редующемуся ряду признак Лейбница. Условия признака Лейбница здесь
выполнены:
1.
...
4
1
3
1
2
1
1 >>>>
,
2.
n
1
limalim
n
n
n ∞→∞→
=
=0.
Следовательно, этот ряд сходится. Так как ряд из абсолютных величин
расходится, данный ряд сходится условно (неабсолютно).
Пример 4. Исследовать характер сходимости знакопеременного ряда:
...
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
1
1
222222
−+−−+−−
Решение
Ряд составленный из абсолютных величин членов данного ряда имеет
вид
...
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
1
1
222222
−++++++
и является сходящимся (ряд Дирих-
ле, р=2>1). Следовательно, данный ряд сходится абсолютно.
Пример 5. Исследовать характер сходимости ряда
∑
∞
=
−
−
−
1n
1n
1n2
)1(
.
Решение
Исследуем ряд с положительными членами
∑
∞
=
−
1
1n2
1
, составленный из
абсолютных величин членов данного ряда. Применим интегральный при-
знак
+∞=−=−=
−
−
=
−
+∞→+∞→+∞→
∞
∫∫
)1b2ln(lim
2
1
1
b
)1x2ln(lim
2
1
1x2
)1x2(d
lim
2
1
1x2
dx
bb
b
1
b
1
.
Итак, ряд с положительными членами расходится. Но о сходимости
исходного ряда пока ничего сказать нельзя. Применим к данному знакоче-
редующемуся ряду признак Лейбница. Условия признака Лейбница здесь
выполнены:
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                                       1    1    1          (−1) n +1
                                    1−    +    −    + ... +           + ...
                                        2    3    4             n

                                        Решение
              Ряд, составленный из абсолютных величин членов исходного ряда, т.
                   ∞ 1
         е. ряд    ∑   расходится (ряд Дирихле, р= 1 ≤1). Поэтому о сходимости
                n =1 n                               2
         исходного ряда пока ничего сказать нельзя. Применим к данному знакоче-
         редующемуся ряду признак Лейбница. Условия признака Лейбница здесь
         выполнены:
                1. 1 > 1 > 1 > 1 > ... ,
                        2     3   4
                2. lim a n = lim
                                  1 =0.
                   n→∞       n →∞ n
             Следовательно, этот ряд сходится. Так как ряд из абсолютных величин
         расходится, данный ряд сходится условно (неабсолютно).

              Пример 4. Исследовать характер сходимости знакопеременного ряда:
                                   1    1   1    1  1    1
                               1 − 2 − 2 + 2 − 2 − 2 + 2 − ...
                                  2    3   4    5  6    7

                                         Решение
              Ряд составленный из абсолютных величин членов данного ряда имеет
         вид 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 − ... и является сходящимся (ряд Дирих-
                 2 2 32 4 2 5 2 6 2 7 2
         ле, р=2>1). Следовательно, данный ряд сходится абсолютно.
                                                                              ∞      n −1
              Пример 5. Исследовать характер сходимости ряда ∑ (−1)                         .
                                                                          n =1    2n − 1

                                               Решение
                                                                    ∞     1 , составленный из
              Исследуем ряд с положительными членами ∑
                                                                   n =12 n − 1
         абсолютных величин членов данного ряда. Применим интегральный при-
         знак
           ∞
              dx      1        b
                                 d ( 2 x − 1) 1               b 1
           ∫ 2x − 1 = 2 b lim  ∫
                          → +∞ 1 2 x − 1
                                             = lim ln(2 x − 1) = lim ln(2b − 1) = +∞ .
                                              2 b → +∞        1 2 b → +∞
           1
              Итак, ряд с положительными членами расходится. Но о сходимости
         исходного ряда пока ничего сказать нельзя. Применим к данному знакоче-
         редующемуся ряду признак Лейбница. Условия признака Лейбница здесь
         выполнены:

                                                   20

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы